3.4. Непрерывные случайные величины

Не все случайные величины дискретны. Например, случайная величина, соответствующая напряжению теплового шума в некоторый заданный момент времени, может принимать любое значение от плюс до минус бесконечности. Однако можно показать, что так как функция распределения является ограниченной и неубывающей функцией, то она всегда может быть разложена на две части: ступенчатую функцию, имеющую скачки в точках X, в которых (т. е. дискретную функцию распределения, показанную на фиг. 3.1), и функцию, которая всюду непрерывна. Случайную величину, функция распределения которой всюду непрерывна, мы будем называть непрерывной случайной величиной. Итак, мы видим, что всякую случайную величину можно представлять себе имеющей дискретную и непрерывную части.

Плотность распределения вероятностей.

Всякую непрерывную функцию распределения можно сколь угодно близко аппроксимировать неубывающей ступенчатой функцией, которую можно рассматривать как функцию распределения дискретной случайной величины. Таким образом, непрерывная случайная величина всегда может быть аппроксимирована дискретной случайной величиной. Если, однако, функция распределения не только непрерывна, но и дифференцируема и имеет непрерывную производную всюду, за исключением, быть может, дискретного множества точек, то оказываются применимыми более прямые методы ее исследования. В этом случае мы определяем плотность распределения вероятностей как производную от функции распределения вероятностей:

так что

Необходимо отметить, что существуют непрерывные случайные величины, не обладающие плотностью распределения; однако, вообще говоря, мы можем без всякого вреда игнорировать такие «патологические» случаи.

Из определения производной как предела мы выводим, что

или, используя равенство (3.2),

Поэтому мы можем написать в обозначениях, использующих дифференциалы,

и интерпретировать как вероятность того, что значение случайной величины х лежит в интервале Из того, что функция распределения является неубывающей, следует, что плотность распределения вероятностей всегда неотрицательна:

Пример функции распределения и соответствующей ей плотности распределения непрерывной случайной величины показан на фиг. 3.3.

Из равенств (3.2) и (3.13) следует, что вероятность того, что значение непрерывной случайной величины попадает в интервал задается интегралом от плотности распределения вероятностей по этому интервалу:

В частности, для бесконечного интервала в силу (3.1), получаем

Этот результат выражает в применении к непрерывным случайным величинам тот факт, что вероятность достоверного события равна единице.

Фиг. 3.3. Пример плотности распределения вероятностей и функции распределения непрерывной случайной величины. а — плотность распределения вероятностей; — функция распределения.

По определению непрерывной случайной величины ее функция распределения не имеет скачков; поэтому для всякого

Иными словами, вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает некоторое определенное значение, равна нулю. Очевидно, однако, что это событие не является невозможным.

Импульсные функции.

Было бы удобным использовать единую систему обозначений для дискретных и для непрерывных случайных величин и таким образом упростить рассмотрение ситуаций, и которых фигурируют смешанные случайные величины, содержащие как дискретную, так и непрерывную части. Этого можно

достигнуть введением более общей формы интегрирования или применением импульсных функций и игнорированием случаев, в которых непрерывная часть распределения не имеет производной. Мы будем пользоваться вторым из этих методов.

Применим теперь предельное соотношение, выведенное нами для плотности распределения вероятностей, к дискретным случайным величинам. Предположим для удобства, что рассматриваемая дискретная величина принимает М возможных значений с вероятностями Тогда

Применяя последнее соотношение к (3.146), мы видим, что

Пусть, далее, — произвольно малое положительное число (меньшее наименьшего расстояния между соседними значениями ), тогда

В приложении I изложены некоторые свойства импульсных функций и функций скачков. Используя приведенные там факты, видим, что написанные выше выражения совпадают с определением импульсных функций. Следовательно, плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины можно рассматривать как состоящую из импульсов веса (т. е. площади) в точках соответствующих возможным значениям случайной величины. Таким образом, плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины, принимающей М возможных значений с вероятностями может быть записана в виде

Функция в (3.20) представляет собой единичный импульс в точке

Функцию распределения дискретной случайной величины можно теперь получить подстановкой выражения (3.20) в (3.13).

Меняя местами интегрирование и конечное суммирование, находим, что

Как показано в приложении I, интеграл в этом выражении равен функции единичного скачка определяемой соотношениями

Итак, для функции распределения нашей дискретной случайной величины мы можем написать

График такой функции распределения вероятностей имеет ступенчатую форму, как это показано на фиг. 3.1, б.

Таким образом, мы показали, что, применяя импульсные функции, мы можем распространить понятие плотности распределения иероятностей на дискретные случайные величины. Впредь мы будем поэтому использовать в случае необходимости плотность распределения вероятностей независимо от того, имеем ли мы дело с непрерывными, дискретными или смешанными случайными величинами.

Плотность совместного распределения вероятностей.

Применительно к одной случайной величине ее плотность распределения была определена как производная от функции распределения В случае двух переменных аналогично, если совместная функция распределения всюду непрерывна и всюду, за исключением, быть может, конечного множества кривых, обладает непрерывной смешанной частной производной второго порядка, мы можем определить плотность совместного распределения вероятностей как эту вторую производную

откуда

Как и прежде, мы будем игнорировать «патологические» случаи и ограничимся случаями, когда частные производные или существуют в обычном смысле, или представляют собой импульсные функции (это будет так в случае дискретных случайных величин). Из определения частной производной как предела выводим, что

следовательно,

или, в обозначениях, использующих дифференциалы,

Итак, можно интерпретировать, как вероятность того, что выборочная точка попадает внутрь площадки в выборочном пространстве, где — приращения координат в точке Совместная функция распределения является неубывающей функцией своих аргументов; следовательно, плотность совместного распределения всегда неотрицательна:

Из нашего определения плотности совместного распределения следует, что вероятность того, что выборочная точка лежит в области выборочного пространства, задается интегралом от плотности совместного распределения вероятностей по этой области:

В частности, когда рассматриваемая область есть все выборочное пространство (т. е. вся плоскость ху), мы получаем

так как здесь мы имеем дело с достоверным событием. С другой стороны, устремляя к бесконечности только один из верхних пределов и применяя равенства (3.4), находим, что

и

Производные от правых частей этих равенств равны просто соответствующим плотностям распределения вероятностей . Поэтому, дифференцируя левые и правые части равенств (3.28), получаем

и

так как производная от интеграла по его верхнему пределу совпадает со значением подинтегральной функции в точке, равной этому верхнему пределу. Равенства (3.29) являются относящимся к непрерывным случайным величинам эквивалентом равенств (3.9), применимых к дискретным случайным величинам.

Как и в случае функций распределения, приведенные выше определения и формулы можно распространить на случай -мерных случайных величин.

Условные плотности распределения.

Рассмотрим теперь вероятность того, что случайная величина у не превосходит некоторого значения Y при условии, что вторая случайная величина х лежит в интервале . Из определения условной вероятности [равенство (2.11)] следует, что

Вероятности, входящие в правую часть равенства, могут быть выражены через плотности распределения вероятностей, определенные

выше. Тогда

Предполагая, что плотности распределения являются непрерывными функциями от х в рассматриваемом интервале и что и полагая мы можем заменить интегралы по х произведениями значений подинтегральных функций при на Приращение будет при этом входить в качестве множителя как в числитель, так и в знаменатель дроби и поэтому может быть сокращено. Предел левой части равенства при равен вероятности того, что при условии, что случайная величина х принимает значение X. Итак,

Определенная таким образом вероятность называется условной функцией распределения случайной величины у при условии, что

Если теперь выполняются обычные требования относительно непрерывности плотности совместного распределения, то мы можем определить условную плотность распределения вероятностей как производную от условной функции распределения:

Тогда

Дифференцируя (3.30) по получаем, что

или, в форме произведения,

Этот результат есть применимый к случаю непрерывной случайной величины вариант представления совместной вероятности в виде произведения условной вероятности на безусловную вероятность.

Как и все функции распределения, условная функция распределения является неубывающей функцией (от Следовательно, условная плотность распределения вероятностей неотрицательна:

Из равенства (3.32) следует, что вероятность того, что значение у лежит в интервале при условии, что определяется интегралом от условной плотности распределения вероятностей по этому интервалу:

Удаляя пределы интегрирования в бесконечность, получаем

так как здесь мы имеем достоверное событие.

Совершенно аналогично можно, конечно, определить и условную плотность распределения вероятностей и для нее можно получить аналогичные результаты.