8.3. Многомерное распределение

Многомерная плотность совместного распределения вероят ностей N нормированных гауссовских действительных случайных величин по определению, равна

где — алгебраическое дополнение элемента в детерминанте корреляционной матрицы

в которой

Соответствующая совместная гауссовская характеристическая функция равна

она может быть записана также в матричной форме:

где — матрица-столбец

Плотность совместного распределения вероятностей N гауссовских действительных случайных величин имеющих средние значения и дисперсии может быть получена из соотношения (8.40): она равна

где — алгебраическое дополнение элемента в детерминанте матрицы ковариаций

в которой

Соответствующая многомерная гауссовская характеристическая функция имеет вид

Она может быть записана также в матричной форме

где m - матрица средних значений:

Следует отметить, что равенство (8.29) является частным случаем равенства (8.50).

Предположим теперь, что N нормированных гауссовских случайных величин некоррелированы, т. е. что

Тогда плотность совместного распределения вероятностей величин согласно (8.40), принимает вид

Итак, если N гауссовских случайных величин некоррелированы, то они независимы.

Предположим, далее, что N гауссовских случайных величин с нулевыми средними значениями преобразуются в N случайных величин посредством линейного преобразования:

Пусть А — матрица этого преобразования:

Мы можем написать

где — матрица-столбец с элементами а у — матрица-столбец с элементами Непосредственным вычислением можно показать, что, как и в двумерном случае, матрица ковариаций (а величин связана с матрицей ковариаций величин равенством

Действия с матрицами, с помощью которых в двумерном случае было показано, что величины, получаемые линейным преобразованием, также являются гауссовскими, без каких-либо изменений выполнимы и в многомерном случае. Следовательно, также являются гауссовскими случайными величинами. Итак, линейное преобразование гауссовских случайных величин приводит снова к гауссовским случайным величинам.