14.6. Сигналы с неизвестными параметрами в белом шуме

Более реальную модель принятого радиосигнала, чем та, которая дается выражением (14.52), мы получим, вводя параметры, учитывающие неизвестность амплитуды и фазы сигнала, дополнительные слагаемые, обусловленные распространением по нескольким траекториям, и т. п. Простейшая модель сигнала в гауссовском шуме, учитывающая такие факторы, имеет вид

Рассмотрим детектирование сигнала, имеющего форму (14.79), при двух статистических предположениях: что — случайная величина с известным распределением вероятностей и что полностью неизвестно.

Используя обозначения предыдущего параграфа, имеем вместо (14.58)

Предположим, что Р — случайная величина, не зависящая от шума и обладающая плотностью распределения вероятностей Тогда в выборочном пространстве для первых N из величин имеем следующие выражения для плотностей распределения вероятностей:

и

где фактически переданными сигналами являются соответственно Отношение правдоподобия равно тогда

Предел при есть отношение правдоподобия в выборочном пространстве всех величин

Если о величине известно в действительности очень мало, то может быть естественным приписать Р равномерное распределение между двумя предельными значениями Тогда

После сокращения обоих множителей отношение правдоподобия принимает вид

В очень простой форме выразить его нельзя. Если мы положим

где

где — нормальная функция распределения

В принципе нетрудно ввести параметры с известными плотностями вероятностей, однако, как было показано выше, даже в этом относительно простом примере вычисления оказываются очень громоздкими.

Если параметр неизвестен и априорная информация о нем отсутствует, то решение в месте приема сигналов вопроса о том, был ли передан сигнал или сводится к задаче проверки двух составных гипотез. Обобщенное отношение правдоподобия в пространстве первых N наблюдаемых координат было вычислено в примере 14.3.5 и определяется равенством (14.38). Предел этого отношения при есть отношение правдоподобия в пространстве всех

Такой критерий отношения правдоподобия также можно интерпретировать с помощью фильтров, обеспечивающих максимум отношения сигнал/шум. Используя обозначения введенные в (14.37), предположим, что величины

конечны и что интегральные уравнения

обладают интегрируемыми в квадрате решениями . Тогда с помощью рассуждений, аналогичных проведенным при выводе уравнения (14.69), получаем

Согласно (14.38), это дает для логарифма отношения правдоподобия в пространстве всех ук выражение

Если теперь функции Тогда с помощью рассуждений, аналогичных проведенным при выводе уравнения (14.69), получаем

и

то, согласно (14.71), имеем

где удовлетворяют уравнениям

и

Таким образом, выражения в скобках в (14.91) можно рассматривать как сигналы на выходах фильтров, максимизирующих отношение сигнал/шум соответственно для сигналов Если сигналы нормированы, так что и порог правдоподобия то оценка наибольшего правдоподобия может быть осуществлена путем пропускания принятого сигнала через два «согласованных фильтра» и выбора или в зависимости от того, в котором из двух фильтров сигнал на выходе оказывается больше в момент Т (см. фиг. 14.6).

Фиг. 14.6 Оптимальное приемное устройство для приема двоичных сигналов на фоне гауссовского шума.

Очевидно, что обобщенный критерий наибольшего правдоподобия, который мы только что применили, эквивалентен следующей статистической процедуре. Предполагая правильной гипотезу мы делаем оценку наибольшего правдоподобия для неизвестного параметра (или параметров); оцененное таким образом значение (или значения) используется далее вместо истинного значения параметра при задании плотности вероятностей в выборочном пространстве в условиях гипотезы Затем делается другая оценка (или оценки) в предположении, что правильной является гипотеза и найденное значение используется при определении плотности вероятностей в условиях гипотезы Отношение этих двух плотностей есть обобщенное отношение правдоподобия. Таким образом, оценка параметра является составной частью всей процедуры проверки гипотез.

Рассмотрим вкратце задачу оценки при

где предполагается теперь определенным как внутри интервала так и вне его. Пусть

Тогда плотность распределения вероятностей первых N наблюдаемых координат при фиксированных равна

Уравнения правдоподобия имеют вид

Решения этих уравнений для как функций от дают оценки наибольшего правдоподобия. Об этих решениях трудно сказать что-либо, не уточнив формы Предположим, например, что в интервале есть синусоида с целым числом периодов,

и оценим . Согласно (14.94),

где

Подставляя в (14.95) и (14.96) значение определяемое равенством (14.98), и производные от и исключая Р, получаем

Если пределы существуют, то последнее выражение принимает вид

где

Если шум является белым шумом, то равенство (14.101) приводится к виду

что и следовало ожидать. Главное значение для вычисленное из равенств (14.100), (14.101) и (14.102), является тогда оценкой фазы сигнала

Общие замечания.

Сделанный нами выбор наблюдаемых координат является в известном смысле наиболее естественным применительно к задачам, в которых фигурируют белый шум и конечное

время наблюдений; однако он, конечно, не является единственным возможным. Другой естественный способ наблюдений состоит в отсчитывании принимаемого сигнала в дискретные моменты времени. Если интервалы между отдельными моментами выбора существенно больше, чем «время корреляции», то выборки являются приблизительно независимыми гауссовскими случайными величинами; следовательно, сравнительно несложно написать приближенные выражения для плотности совместных распределений вероятностей отдельных выборок и отсюда вычислять отношение правдоподобия. При этом часть информации, содержащейся в принятом сигнале, теряется. Если интервалы между моментами выбора взяты короткими, то для вычисления плотности совместного распределения вероятностей выборок нужно обратить соответствующую корреляционную матрицу. С помощью выборок в дискретные моменты времени была изучена задача об обнаружении синусоидального сигнала на фоне шума. В пределе, когда интервалы между выборками становятся нулевыми, обращение матрицы переходит формально в решение интегрального уравнения (14.69).

В §§ 14.5 и 14.6 мы ограничились случаем так называемой синхронной связи, при которой все символы представляются функциями времени с одинаковой длительностью. Быстродействующая радиосвязь с помощью телетайпов обычно удовлетворяет этому условию; код Морзе — не удовлетворяет. Однако символы кода Морзе можно представлять себе разделенными на символы длительностью в основной интервал, удовлетворяющие этому условию. Если точка, тире, промежуток между символами и промежуток между буквами имеют относительные длительности, скажем, 1,3, 1,3, то длительность точки может быть принята за основной интервал и каждый символ кода Морзе может быть выражен при помощи посылок и промежутков длительностью в этот основной интервал. Вообще, всякий код, состоящий из символов, длительности которых относятся как рациональные числа, может быть, конечно, преобразован в более элементарный код, все символы которого имеют одинаковую длительность.

Мы также ограничились посимвольным исследованием принятого сигнала. При более полном изучении вопроса нужно анализировать связи между символами. Параметры, которые мы рассматривали как неизвестные постоянные, могут быть действительно постоянными, но могут и меняться во времени, правда, достаточно медленно для того, чтобы на протяжении длительности одного символа их можно было считать приблизительно постоянными. В обоих случаях при приеме каждого символа мы в неявной

форме получаем информацию, которая может быть полезна при оценке значений параметров, связанных с последующими символами.

Одной из наиболее трудных практических задач радиосвязи, к которой может быть плодотворно применена статистическая теория, является упомянутая в § 14.1 задача о многоканальном распространении радиоволн на дальние расстояния. Для того чтобы учесть искажения, обусловленные распространением по многим траекториям, необходимы довольно сложные статистические модели принимаемых сигналов. В этой области были получены некоторые результаты, которые читатель может найти в литературе.

Дополнительное ограничение общности выводов §§ 14.5 и 14.6 состоит в том, что материал, изложенный в этих параграфах, относится только к алфавитам, содержащим два символа. Однако наличие более чем двух символов не очень меняет задачу, если только общее число символов остается конечным. Если существуют априорные вероятности символов, можно найти решение, обеспечивающее минимальную вероятность ошибки; если априорные вероятности не заданы, то можно обеспечить максимум правдоподобия. В обоих случаях ход вычислений по существу остается тем же, что и выше.

Если связь осуществляется не с помощью дискретной системы символов, а непрерывными сигналами, как это, например, имеет место при обычной радиотелефонной связи, то задача приема сигналов состоит в возможно более точном восстановлении формы переданного сигнала. Таким образом, задача приема сигнала является задачей о сглаживании, аналогичной рассмотренной в гл. 11. Метод наибольшего правдоподобия был применен также и к выделению непрерывно-модулированных сигналов на фоне шума.