Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.2. ОсновыВведя понятие вероятности и связав его с относительной частотой мы можем теперь дать точное определение вероятности и рассмотреть некоторые из ее свойств. Прежде, однако, мы должны расширить наше понятие события. Когда мы говорим, что при бросании кости «выпали три или четыре очка», смысл этого утверждения вполне понятен. Таким образом, мы можем говорить о сложном событии (А или В) где (А) и (В) — некоторые события. Точно так же мы можем говорить о событии (А и В), т. е. об одновременном появлении событий (А) и (В). Пусть, например, при бросании кости событие (А) есть «выпадение не более четырех очков», а событие (В) — «выпадение не менее четырех очков». Тогда событием (А и В) является «выпадение четырех очков». Наконец, полезно рассмотреть событие (не А), где (А) — некоторое событие. Если, например, при бросании кости событие (А) есть выпадение одного очка, то событие (не А) есть выпадение двух или большего числа очков. Если в последовательности повторяющихся экспериментов мы после каждого опыта можем определить, произошло или не произошло событие (А) и произошло или не произошло событие (В), то мы также можем определить произошли или не произошли события (А и В), (А или В), (не А) и (не В). Затем можно вычислить эмпирическую относительную частоту появления событий (А), (В), (А и В), (А или В), (не А) и (не В). Поэтому представляется целесообразным принять следующую аксиому: Аксиома I. Каждому из событий (А), принадлежащих к классу возможных в основном эксперименте событий, соответствует неотрицательное вещественное число Р (А), называемое вероятностью данного события. Если к указанному классу относятся событие (А) и событие (В), то к нему относятся также события (А и В), (А или В) и (не А). Из этой аксиомы следует, что вероятность определена и для достоверного события (т. е. для события, которое заведомо должно произойти), так как для любого события (А) событие ( Относительная частота появления достоверного события равна единице, и поэтому естественно принять следующую аксиому: Аксиома II. Вероятность достоверного события равна единице. Мы будем говорить, что события (А) и (В) несовместимы или взаимно исключают друг друга, если возникновение одного из них исключает возможность возникновения другого. При бросании кости выпадение двух очков и выпадение трех очков являются событиями несовместимыми. Во всех случаях несовместимы события (А) и (не А). Предположим, что (А) и (В) — некоторые несовместимые события, которые могут появиться при данном основном эксперименте. Пусть, далее, основной эксперимент повторяется N раз и при этом
Это соотношение не нарушается при Аксиома III. Если (А) и (В) — несовместимые события, то
Следствием из этой аксиомы является то, что если
В этом нетрудно убедиться, последовательно применяя аксиому III. Из аксиом II и III следует, что для любого события (А)
В самом деле,
и число Р (не А) неотрицательно. Из аксиом II и III следует также, что
Заметим, что если достоверное событие может быть разложено на попарно несовместимые события
Перечисленные аксиомы совместимы друг с другом и достаточны для построения теории вероятностей, охватывающей те случаи, когда общее число всех событий конечно. Если, однако, общее число возможных событий бесконечно, то рассмотренная система аксиом оказывается уже неадекватной и необходимо цвести дополнительные предположения. А именно достаточно цвести следующую аксиому: Аксиома IV. Если для каждого из событий
Один момент нужно, видимо, подчеркнуть особо. Хотя из аксиом вытекает, что вероятность невозможного события равна пулю, из них не следует, что если вероятность некоторого выбора какой-либо одной точки, то отличны от нуля и вероятности выбора всех других точек; однако этого не может быть, так как при этом сумма вероятностей всех этих несовместимых событий окажется больше единицы, что противоречит аксиоме II. Таким образом, каждый определенный выбор точки должен быть событием вероятности нуль. Отсюда также следует, конечно, что хотя вероятность достоверного события равна единице, не всякое событие с вероятностью единица должно обязательно произойти. В заключение рассмотрим простой пример. Пусть основной эксперимент допускает шесть взаимно исключающих друг друга исходов, которые мы назовем просто событиями 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Класс событий, которым мы припишем вероятности, состоит из этих шести событий и всевозможных комбинаций из них типа
Тогда Р (1 или 3 или 6) = 5/8, Р (2 или 3) = 3/8 и т. д. Другой возможный способ задания вероятностей для того же класса событий:
Мы не можем решить на основе математической теории вероятностей, какой из этих двух способов задания вероятностей приложим к эксперименту бросания игральной кости, оба выбора являются математически обоснованными.
|
1 |
Оглавление
|