2.2. Основы

Введя понятие вероятности и связав его с относительной частотой мы можем теперь дать точное определение вероятности и рассмотреть некоторые из ее свойств.

Прежде, однако, мы должны расширить наше понятие события. Когда мы говорим, что при бросании кости «выпали три или четыре очка», смысл этого утверждения вполне понятен. Таким образом, мы можем говорить о сложном событии (А или В) где (А) и (В) — некоторые события. Точно так же мы можем говорить о событии (А и В), т. е. об одновременном появлении событий (А) и (В). Пусть, например, при бросании кости событие (А) есть «выпадение не более четырех очков», а событие (В) — «выпадение не менее четырех очков». Тогда событием (А и В) является «выпадение четырех очков». Наконец, полезно рассмотреть событие (не А), где (А) — некоторое событие. Если, например, при бросании кости событие (А) есть выпадение одного очка, то событие (не А) есть выпадение двух или большего числа очков.

Если в последовательности повторяющихся экспериментов мы после каждого опыта можем определить, произошло или не произошло событие (А) и произошло или не произошло событие (В), то мы также можем определить произошли или не произошли события (А и В), (А или В), (не А) и (не В). Затем можно вычислить эмпирическую относительную частоту появления событий (А), (В), (А и В), (А или В), (не А) и (не В). Поэтому представляется целесообразным принять следующую аксиому:

Аксиома I. Каждому из событий (А), принадлежащих к классу возможных в основном эксперименте событий, соответствует неотрицательное вещественное число Р (А), называемое вероятностью данного события. Если к указанному классу относятся событие (А) и событие (В), то к нему относятся также события (А и В), (А или В) и (не А).

Из этой аксиомы следует, что вероятность определена и для достоверного события (т. е. для события, которое заведомо должно произойти), так как для любого события (А) событие ( или не ) является достоверным. Вероятность определена также и для «невозможного события», так как для любого события (А) событие (А и не А) является невозможным.

Относительная частота появления достоверного события равна единице, и поэтому естественно принять следующую аксиому: Аксиома II. Вероятность достоверного события равна единице.

Мы будем говорить, что события (А) и (В) несовместимы или взаимно исключают друг друга, если возникновение одного из них исключает возможность возникновения другого. При бросании кости выпадение двух очков и выпадение трех очков являются событиями несовместимыми. Во всех случаях несовместимы события (А) и (не А). Предположим, что (А) и (В) — некоторые несовместимые события, которые могут появиться при данном основном эксперименте. Пусть, далее, основной эксперимент повторяется N раз и при этом раз происходит событие (А) и (В) раз — событие (В). Так как при возникновении (А) не может иметь место (В) и наоборот, то событие (А или В) происходит раз. Следовательно,

Это соотношение не нарушается при и поэтому мы принимаем такую аксиому:

Аксиома III. Если (А) и (В) — несовместимые события, то

Следствием из этой аксиомы является то, что если суть К попарно несовместимых событий, то

В этом нетрудно убедиться, последовательно применяя аксиому III. Из аксиом II и III следует, что для любого события (А)

В самом деле,

и число Р (не А) неотрицательно. Из аксиом II и III следует также, что

Заметим, что если достоверное событие может быть разложено на попарно несовместимые события то

Перечисленные аксиомы совместимы друг с другом и достаточны для построения теории вероятностей, охватывающей те случаи, когда общее число всех событий конечно. Если, однако, общее число возможных событий бесконечно, то рассмотренная система аксиом оказывается уже неадекватной и необходимо цвести дополнительные предположения. А именно достаточно цвести следующую аксиому:

Аксиома IV. Если для каждого из событий определена вероятность , то определена также вероятность или или если — попарно несовместимые события и если вероятность каждого из них определена, то

Один момент нужно, видимо, подчеркнуть особо. Хотя из аксиом вытекает, что вероятность невозможного события равна пулю, из них не следует, что если вероятность некоторого равна нулю, то оно невозможно. Невозможное событие есть магматический аналог события, которое не может произойти; математическая теория приписывает нулевую вероятность всему, что не может произойти, однако она не утверждает, что если вероятность некоторого события равна нулю, то событие это произойти не может. В том, что таково действительное положение пищей, легко убедиться, рассматривая частотную интерпретацию вероятностей. Вполне понятно, что может существовать событие для которого хотя не остается равной нулю. Приведем простой пример. Пусть основной эксперимент состоит в совершенно случайном выборе точки на отрезке единичной длины. Выбор какой-либо определенной точки является событием, которое Мы предполагаем столь же вероятным, сколь и выбор любой Другой точки. Следовательно, если отлична от нуля вероятность

выбора какой-либо одной точки, то отличны от нуля и вероятности выбора всех других точек; однако этого не может быть, так как при этом сумма вероятностей всех этих несовместимых событий окажется больше единицы, что противоречит аксиоме II. Таким образом, каждый определенный выбор точки должен быть событием вероятности нуль.

Отсюда также следует, конечно, что хотя вероятность достоверного события равна единице, не всякое событие с вероятностью единица должно обязательно произойти.

В заключение рассмотрим простой пример. Пусть основной эксперимент допускает шесть взаимно исключающих друг друга исходов, которые мы назовем просто событиями 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Класс событий, которым мы припишем вероятности, состоит из этих шести событий и всевозможных комбинаций из них типа . Заметим, что этот класс удовлетворяет аксиоме I. Если мы теперь припишем определенные вероятности каждому из событий 1, 2, 3, 4, 5 и 6, то в силу аксиомы III вероятности окажутся также заданными для всех событий рассматриваемого класса. Вероятности событий 1, 2, 3, 4, 5 и 6 мы можем выбрать произвольно; они только должны быть неотрицательными и в сумме составлять единицу. Пусть, например,

Тогда Р (1 или 3 или 6) = 5/8, Р (2 или 3) = 3/8 и т. д.

Другой возможный способ задания вероятностей для того же класса событий:

Мы не можем решить на основе математической теории вероятностей, какой из этих двух способов задания вероятностей приложим к эксперименту бросания игральной кости, оба выбора являются математически обоснованными.