Главная > Введение в теорию случайных сигналов и шумов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.2. Основы

Введя понятие вероятности и связав его с относительной частотой мы можем теперь дать точное определение вероятности и рассмотреть некоторые из ее свойств.

Прежде, однако, мы должны расширить наше понятие события. Когда мы говорим, что при бросании кости «выпали три или четыре очка», смысл этого утверждения вполне понятен. Таким образом, мы можем говорить о сложном событии (А или В) где (А) и (В) — некоторые события. Точно так же мы можем говорить о событии (А и В), т. е. об одновременном появлении событий (А) и (В). Пусть, например, при бросании кости событие (А) есть «выпадение не более четырех очков», а событие (В) — «выпадение не менее четырех очков». Тогда событием (А и В) является «выпадение четырех очков». Наконец, полезно рассмотреть событие (не А), где (А) — некоторое событие. Если, например, при бросании кости событие (А) есть выпадение одного очка, то событие (не А) есть выпадение двух или большего числа очков.

Если в последовательности повторяющихся экспериментов мы после каждого опыта можем определить, произошло или не произошло событие (А) и произошло или не произошло событие (В), то мы также можем определить произошли или не произошли события (А и В), (А или В), (не А) и (не В). Затем можно вычислить эмпирическую относительную частоту появления событий (А), (В), (А и В), (А или В), (не А) и (не В). Поэтому представляется целесообразным принять следующую аксиому:

Аксиома I. Каждому из событий (А), принадлежащих к классу возможных в основном эксперименте событий, соответствует неотрицательное вещественное число Р (А), называемое вероятностью данного события. Если к указанному классу относятся событие (А) и событие (В), то к нему относятся также события (А и В), (А или В) и (не А).

Из этой аксиомы следует, что вероятность определена и для достоверного события (т. е. для события, которое заведомо должно произойти), так как для любого события (А) событие ( или не ) является достоверным. Вероятность определена также и для «невозможного события», так как для любого события (А) событие (А и не А) является невозможным.

Относительная частота появления достоверного события равна единице, и поэтому естественно принять следующую аксиому: Аксиома II. Вероятность достоверного события равна единице.

Мы будем говорить, что события (А) и (В) несовместимы или взаимно исключают друг друга, если возникновение одного из них исключает возможность возникновения другого. При бросании кости выпадение двух очков и выпадение трех очков являются событиями несовместимыми. Во всех случаях несовместимы события (А) и (не А). Предположим, что (А) и (В) — некоторые несовместимые события, которые могут появиться при данном основном эксперименте. Пусть, далее, основной эксперимент повторяется N раз и при этом раз происходит событие (А) и (В) раз — событие (В). Так как при возникновении (А) не может иметь место (В) и наоборот, то событие (А или В) происходит раз. Следовательно,

Это соотношение не нарушается при и поэтому мы принимаем такую аксиому:

Аксиома III. Если (А) и (В) — несовместимые события, то

Следствием из этой аксиомы является то, что если суть К попарно несовместимых событий, то

В этом нетрудно убедиться, последовательно применяя аксиому III. Из аксиом II и III следует, что для любого события (А)

В самом деле,

и число Р (не А) неотрицательно. Из аксиом II и III следует также, что

Заметим, что если достоверное событие может быть разложено на попарно несовместимые события то

Перечисленные аксиомы совместимы друг с другом и достаточны для построения теории вероятностей, охватывающей те случаи, когда общее число всех событий конечно. Если, однако, общее число возможных событий бесконечно, то рассмотренная система аксиом оказывается уже неадекватной и необходимо цвести дополнительные предположения. А именно достаточно цвести следующую аксиому:

Аксиома IV. Если для каждого из событий определена вероятность , то определена также вероятность или или если — попарно несовместимые события и если вероятность каждого из них определена, то

Один момент нужно, видимо, подчеркнуть особо. Хотя из аксиом вытекает, что вероятность невозможного события равна пулю, из них не следует, что если вероятность некоторого равна нулю, то оно невозможно. Невозможное событие есть магматический аналог события, которое не может произойти; математическая теория приписывает нулевую вероятность всему, что не может произойти, однако она не утверждает, что если вероятность некоторого события равна нулю, то событие это произойти не может. В том, что таково действительное положение пищей, легко убедиться, рассматривая частотную интерпретацию вероятностей. Вполне понятно, что может существовать событие для которого хотя не остается равной нулю. Приведем простой пример. Пусть основной эксперимент состоит в совершенно случайном выборе точки на отрезке единичной длины. Выбор какой-либо определенной точки является событием, которое Мы предполагаем столь же вероятным, сколь и выбор любой Другой точки. Следовательно, если отлична от нуля вероятность

выбора какой-либо одной точки, то отличны от нуля и вероятности выбора всех других точек; однако этого не может быть, так как при этом сумма вероятностей всех этих несовместимых событий окажется больше единицы, что противоречит аксиоме II. Таким образом, каждый определенный выбор точки должен быть событием вероятности нуль.

Отсюда также следует, конечно, что хотя вероятность достоверного события равна единице, не всякое событие с вероятностью единица должно обязательно произойти.

В заключение рассмотрим простой пример. Пусть основной эксперимент допускает шесть взаимно исключающих друг друга исходов, которые мы назовем просто событиями 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Класс событий, которым мы припишем вероятности, состоит из этих шести событий и всевозможных комбинаций из них типа . Заметим, что этот класс удовлетворяет аксиоме I. Если мы теперь припишем определенные вероятности каждому из событий 1, 2, 3, 4, 5 и 6, то в силу аксиомы III вероятности окажутся также заданными для всех событий рассматриваемого класса. Вероятности событий 1, 2, 3, 4, 5 и 6 мы можем выбрать произвольно; они только должны быть неотрицательными и в сумме составлять единицу. Пусть, например,

Тогда Р (1 или 3 или 6) = 5/8, Р (2 или 3) = 3/8 и т. д.

Другой возможный способ задания вероятностей для того же класса событий:

Мы не можем решить на основе математической теории вероятностей, какой из этих двух способов задания вероятностей приложим к эксперименту бросания игральной кости, оба выбора являются математически обоснованными.

1
Оглавление
email@scask.ru