13.3. Корреляционная функция и спектральная плотность отклика

Согласно равенству (13.5), корреляционная функция отклика нелинейного устройства может быть следующим образом выражена через переходную функцию этого устройства:

Двойной интеграл по равен, как это видно из сравнения с равенством (4.25), совместной характеристической функции величин записанной в виде функции комплексных переменных . Следовательно,

Выражение (13.40) является основной формулой при анализе случайных воздействий на нелинейные устройства методом преобразований. Оставшаяся часть этой главы посвящена вычислению этого выражения для различных типов устройств и различных видов воздействий на них.

Во многих задачах воздействие, подаваемое на вход системы, представляет собой сумму полезного сигнала и шума:

где — выборочные функции статистически независимых вероятностных процессов. В таких случаях совместная характеристическая функция воздействия равна произведению характеристических функций сигнала и шума и равенство (13.40) принимает

где — совместная характеристическая функция величин — совместная характеристическая функция величин и

Гауссовский шум на входе. Если шум на входе устройства является выборочной функцией действительного гауссовского вероятностного процесса с нулевым математическим ожиданием, то, согласно равенству (8.23),

где Корреляционная функция отклика в таком случае принимает вид

Если теперь могут быть представлены в виде произведений функции от на функцию от или в виде сумм таких произведений, то двойной интеграл в последнем выражении может быть вычислен как произведение интегралов. Тот факт, что экспоненциальная функция может быть представлена через произведения функций от и вытекает из разложения ее в степенной ряд

Поэтому корреляционная функция отклика нелинейного устройства при подале на вход его гауссовского шума может быть записана

в виде

Для того чтобы двигаться дальше, необходимо конкретизировать характеристическую функцию полезного сигнала на входе устройства.

Синусоидальные сигналы.

Предположим теперь, что сигнал на входе устройства представляет собой модулированную синусоиду, т. е. что

где — выборочная функция низкочастотного вероятностного процесса (т. е. такого, у которого спектральная плотность отлична от нуля лишь в диапазоне частот, примыкающем к нулевой частоте и узком по сравнению с и где случайная величина распределена равномерно в интервале и не зависит от модулирующего сигнала и от шума. Характеристическая функция такого сигнала равна

Разлагая экспоненту формуле Якоби—Энгера [выражение (13.20)], получаем

Поскольку

где мы получаем, что для амплитудно-модулированного синусоидального сигнала

Корреляционную функцию отклика нелинейного устройства при подаче на вход его синусоидального сигнала и гауссовского шума можно теперь найти, подставляя (13.47) в (13.45). Определим функцию

где и корреляционную функцию

где осреднение производится по модулирующему сигналу; тогда корреляционная функция отклика будет равна

Если как модулирующий сигнал, так и шум стационарны, то выражение (13.50) принимает вид

Если входной сигнал представляет собой немодулированную синусоиду

то

ибо в этом случае коэффициенты постоянны и равны друг другу.

Составляющие сигнала и шума на выходе.

Рассмотрим сейчас случай, когда шум на входе имеет форму смодулированной синусоиды. В этом случае корреляционная функция на выходе задается выражением (13.52). Разложим это выражение следующим образом:

рассмотрим отдельные его слагаемые. Первое слагаемое соответствует постоянной составляющей на выходе устройства. Следующая группа слагаемых отвечает периодической части отклика и обусловлена в основном взаимодействием входного сигнала с самим собой. Остальные слагаемые соответствуют случайным колебаниям отклика, т. е. шуму на выходе. Те из

этих оставшихся слагаемых, для которых обусловлены главным образом взаимодействием входного шума с самим собой, а те из них, для которых взаимодействием сигнала и шума на входе.

Представим отклик нелинейного устройства в виде суммы среднего значения, периодических составляющих и случайной составляющей:

Тогда корреляционная функция отклика может быть записана в виде

где Сравнивая равенства (13.53) и (13.55), мы видим, что среднее значение отклика и амплитуды его периодических составляющих могут быть выражены непосредственно через коэффициенты

и

Кроме того, корреляционною функцию случайной части отклика можно записать в виде

где

характеризуют слагающую шума на выходе, обусловленную главным образом взаимодействием шума с самим собой, а

характеризуют слагающую шума, обусловленную взаимодействием сигнала и шума на входе. Итак, разложение корреляционной функции, которое привело нас к равенству (13.52), позволило нам

выделить среднее значение отклика, его периодические составляющие и составляющие выходного шума.

Все эти результаты были получены в предположении, что входной шум стационарен, а сигнал имеет форму смодулированной синусоиды. Однако такое же разделение корреляционной функции возможно и в общем случае, и мы можем написать

где мы положим по определению в соответствии с (13.50)

и

Следует отметить, что, строго говоря, все эти слагаемые являются функциями процесса, модулирующего входной сигнал.

Решение вопроса о том, какие из -слагаемых в (13.62) определяют полезный выходной сигнал, зависит, конечно, от назначения нелинейного устройства. Если, например, устройство используется как детектор, то полезной является низкочастотная часть выходного сигнала. В этом случае полезному сигналу соответствует часть корреляционной функции, определяемая равенством

С другой стороны, если устройство используется как нелинейный усилитель, то

ибо в этом случае полезной является составляющая сигнала, сосредоточенная около несущей частоты входного сигнала