Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

3.1. Определения

Выборочные точки и выборочное пространство. В предыдущей главе мы рассматривали эксперименты, события (т. е. возможные исходы экспериментов) и вероятности событий. При таких рассмотрениях во многих случаях оказывается удобным считать, что эксперимент и его возможные исходы задают некоторое пространство и его точки. Каждому из элементарных возможных исходов эксперимента мы можем сопоставить точку некоторого пространства, называемую выборочной точкой. Множество выборочных точек, соответствующее совокупности всех возможных исходов эксперимента, называется выборочным пространством, соответствующим рассматриваемому эксперименту. Событию в общем случае может соответствовать как отдельная выборочная точка, так и некоторое множество выборочных точек. Например, бросание игральной кости имеет шесть возможных исходов: выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти или шести очков на верхней грани. Каждому из этих исходов мы сопоставляем выборочную точку; наше выборочное пространство состоит из шести выборочных точек. Событию «шесть очков» соответствует выборочная точка, тогда как составному событию «четное число очков» соответствует множество, состоящее из трех выборочных точек, соответствующих выпадению двух, четырех и шести очков.

Во многих интересных задачах оказывается возможным численное представление каждого из возможных исходов эксперимента. В некоторых случаях, как, например, при измерении напряжения шума или бросаниях кости, достаточно взять одно число. В других случаях требуется некоторая совокупность чисел. Так, например, для определения мгновенного положения движущейся частицы газа требуются три числа (значения трех пространственных координат). Если возможно такое численное представление исходов эксперимента, то совокупность чисел, определяющих данный исход, можно рассматривать как координаты вектора, определяющего положение соответствующей выборочной точки в выборочном пространстве. Таким образом, если для задания

каждого возможного исхода необходимы К чисел, то каждая выборочная точка характеризуется значениями К координат и выборочное пространство будет -мерным векторным пространством. Мы будем обычно ограничиваться рассмотрением выборочных пространств этого типа.

Вероятность данного события можно теперь представлять себе как некоторый вес или некоторую массу, приписанную соответствующей выборочной точке (или множеству выборочных точек). В принятой нами терминологии выборочных точек и выборочных пространств вероятность Р (А) того, что в результате данного эксперимента произойдет событие (А), может быть выражена как вероятность того, что выборочная точка соответствующая наступившему исходу этого эксперимента, входит в подмножество выборочного пространства, соответствующее событию (А):

Случайная величина. Функция с действительными значениями, определенная в выборочном пространстве с точками называется случайной величиной, если для всякого вещественного числа а множество точек для которых принадлежит к классу допустимых множеств, для которых определена вероятность. Это условие называется измеримостью функции и почти всегда выполняется на практике. Функция с комплексными значениями определенная в выборочном пространстве, будет называться комплексной случайной величиной, если как так и являются измеримыми. Аналогично функция, сопоставляющая каждой точке выборочного пространства некоторый вектор, будет называться векторной случайной величиной или случайным вектором.

Выше было сказано, что выборочное пространство, соответствующее исходам бросания игральной кости, — это множество, содержащее шесть точек, в качестве которых можно взять целые числа Если мы теперь отождествим точку с событием, состоящим в том, что при бросании кости выпадает очков, то функция окажется случайной величиной, такой, что равно числу очков, выпавших при бросании кости. Функции также являются случайными величинами, определенными на том же пространстве.

Другим примером случайной величины может служить действительная функция от действительной величины, значения которой

равны величинам напряжения шума, измеренным в заданный момент времени. Здесь в качестве выборочного пространства взята действительная прямая. Случайной величиной подобного типа будет, например, величина, равная единице, если измеренное значение напряжения шума лежит между V и вольт, и равная нулю в остальных случаях. Необходимо отметить, что функция от случайной величины есть случайная величина.