4.7. Интегралы от вероятностных процессов

Мы будем часто пользоваться интегралами от вероятностных процессов. Они естественным образом возникают во многих вопросах; в гл. 9, например, мы увидим, что если какая-либо система преобразует входную функцию некоторым способом, включающим в себя интегрирование, и мы хотим узнать, что произойдет, когда на вход такой системы подается шумовой сигнал, нам приходится иметь дело с интегралами от вероятностных процессов. Совершенно ясно, что именно означает в таком примере интегрирование вероятностного процесса; любой конкретный шумовой сигнал на входе представляет собой выборочную функцию соответствующего вероятностного процесса, и интегрирование процесса здесь сводится к обычному интегрированию функций (в качестве таких функций надо брать выборочные функции процесса). Для каждой выборочной функции вероятностного процесса значение ее интеграла есть некоторое число; однако для различных выборочных функций эти числа оказываются, вообще говоря, различными, и в целом для совокупности выборочных функций, образующих вероятностный процесс, интеграл принимает целую совокупность значений. Вероятность того, что эти значения лежат в определенной области, равна вероятности появления выборочной функции, интегрирование которой приводит к значению, лежащему в этой области. Таким образом, мы можем естественным образом приписать значениям интеграла некоторый закон распределения вероятностей; иными словами, интеграл от вероятностного процесса можно рассматривать как случайную величину. В символической форме, если мы обозначим на время вероятностный процесс через , где — вероятностная переменная, принимающая значения в выборочном пространстве время, мы можем написать

Для каждого это выражение можно рассматривать как обычный интеграл (от выборочной функции). Так как принимает значения в пространстве , то также является функцией, определенной на , т. е. случайной величиной.

Можно на самом деле показать, что при разумных предположениях интеграл от вероятностного процесса можно рассматривать

как ансамбль интегралов от выборочных функций этого процесса, что приводит к интерпретации, которую мы только что обсудили. В частности, при соответствующих условиях измеримости и при

все выборочные функции, кроме некоторой их совокупности, имеющей вероятность нуль, абсолютно интегрируемы и, кроме того,

Пределы интегрирования а и могут быть как конечными, так и бесконечными. Условие измеримости — это условие, которое можно практически всегда предполагать выполненным. Таким образом, мы имеем право рассматривать интегралы от выборочных функций вероятностного процесса всегда, когда среднее значение процесса интегрируемо. Мы можем, далее, с помощью равенства (4.70) вычислять средние значения, связанные с такими интегралами.

Обычно опускают вероятностное переменное и записывают равенство (4.68) просто в виде

а равенство (4.70) — в виде

Часто приходится рассматривать интегралы от вероятностного процесса с весом, задаваемым некоторой функцией. Пусть, например,

где — действительная или комплексная функция от Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой такой интеграл существует с вероятностью единица, если

Если весовая функция также является функцией некоторого параметра, скажем другого действительного переменного то

это равенство задает как некоторый вероятностный процесс.