14.7. Радиолокационные сигналы на фоне гауссовского шума

Большинство ранних применений статистических методов обнаружения радиосигналов относится к области радиолокации. Исходная задача состояла в отыскании оптимального приемника для обнаружения на фоне шума сигналов, излучаемых импульсным передатчиком и отраженных от объекта; мы ограничимся здесь рассмотрением этого вопроса. Однако статистические методы применимы и к изучению многих других радиолокационных задач, таких, например, как обнаружение цели при наличии волнения

на море, точное измерение дистанции до цели и ее радиальной скорости с помощью как импульсных радиолокаторов, так и радиолокаторов непрерывного действия, точное измерение азимута и склонения, особенно с помощью сканнирующих локационных устройств.

Мы рассмотрим «обычное» радиолокационное устройство, излучающее периодическую последовательность прямоугольных импульсов радиочастоты. Таким образом, сигнал имеет форму, изображенную на фиг. 14.1. Для упрощения будем считать цель неподвижной и обладающей фиксированной отражающей поверхностью, а радиолокатор — постоянно работающим в одном направлении. Тогда выражение (14.3) для сигнала, отраженного от цели, находящейся на дистанции принимает просто вид

Наконец, будем предполагать, что дальность до цели меняется дискретно с фиксированным интервалом дистанции. Это означает, что промежуток между импульсами разделен на равные интервалы времени, соответствующие интервалам дистанции, и для каждого из интервалов требуется ответить, присутствует ли в нем отраженный сигнал или нет. Длительность импульса Т принимается равной длительности этих интервалов (см. фиг. 14.7).

Фиг. 14.7. Отраженные импульсы в импульсном радиолокаторе, работающем с дискретным изменением дальности до цели.

Если мы обратимся к какому-либо из таких интервалов дистанции, то задача сводится к выбору между двумя альтернативными гипотезами: — что цель отсутствует и — что цель имеется. Будем предполагать, что если цель имеется, то она находится в начале соответствующего интервала дистанции. Таким образом, для одиночного импульса есть гипотеза о том, что некоторая часть принятого сигнала длительностью Т секунд является только шумом, а — гипотеза о том, что эта часть сигнала является суммой синусоиды и шума. Итак, мы имеем здесь дело со специальным случаем задачи о проверке гипотез,

рассмотренной в § 14.5. В соответствии с равенствами (14.70) и (14.71) мы видим, что, согласно критерию наибольшего правдоподобия, выбирается т. е. делается вывод о наличии цели, если

где задается равенством

а константа зависит от уровня значимости критерия. Согласно обычной радиолокационной терминологии, коэффициентом ложной тревоги называется среднее отношение числа ложных обнаружений цели к общему числу наблюдений, при которых цель отсутствует. Таким образом, коэффициент ложной тревоги равен вероятности отказаться от гипотезы в тех случаях, когда на самом деле правильна; иначе говоря, коэффициент ложной тревоги равен уровню значимости критерия. В примере 14.3.1 было показано, что критерий наибольшего правдоподобия для является равномерно наиболее мощным критерием проверки нулевой гипотезы относительно составной гипотезы, включающей в себя все положительные амплитуды сигнала. Развитые там соображения непосредственно переносятся на предельный случай , и, следовательно, описанный выше критерий является равномерно наиболее мощным для своего уровня значимости (или коэффициента ложной тревоги) критерием проверки гипотезы о том, что в принятом сигнале содержится отраженное от цели эхо любой положительной амплитуды.

Обычно в практике радиолокации приходится иметь дело с последовательностью отраженных импульсов, а не одним импульсом. Предположим, что радиолокатор работает в одном направлении достаточно долго для того, чтобы могли вернуться К отраженных импульсов, и опять-таки рассмотрим только один интервал дистанции. Характерный образец принятого сигнала изображен на фиг. 14.7. Будем, далее, предполагать, что вполне естественно, полосу частот шума настолько широкой, что значения шума, отстоящие одно от другого на период повторения, можно считать полностью некоррелированными. Таким образом, шум, накладывающийся на всякий отраженный импульс (см. фиг. 14.7), не зависит от шума, накладывающегося на другие импульсы.

Пусть период повторения импульсов равен а время измеряется от переднего края рассматриваемого интервала дистанции, следующего за каждым импульсом. Пусть, далее,

сигнал, принимаемый после излучения первого импульса, сигнал, принимаемый после излучения второго импульса, и т. д. Предположим, что модулирующие импульсы строго фазированы относительно несущей частоты, так что сигналы для всех излученных импульсов одинаковы. Пусть

Тогда, поскольку не зависят от мы имеем для плотностей распределения вероятностей

если цель отсутствует, и

если цель имеется. Логарифм отношения правдоподобия равен

Переходя к пределу и определяя функцию уравнением (14.69), получаем

Эта формула для позволяет, как и раньше, интерпретировать критерий отношения правдоподобия при помощи фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. При этом имеем следующий результат. Принятый сигнал, соответствующий выбранному интервалу времени, после излучения каждого импульса подается в такой фильтр. Отклики фильтра в конце каждого интервала сохраняются, и после получения К импульсов все отклики суммируются. Если их сумма превосходит некоторый установленный порог, то принимается решение о наличии цели. Это опять-таки равномерно наиболее мощный критерий для своего уровня значимости относительно любой положительной амплитуды сигнала. Согласно равенству является гауссовской случайной величиной, так что вероятность ошибки каждого рода может быть вычислена по средним значениям и дисперсиям. При обозначениях, принятых в (14.72) и (14.73), вероятность того, что цель не будет обнаружена, равна

или

а вероятность ложной тревоги —

При эти вероятности ошибок переходят, конечно, в выражения (14.75) и (14.76).

Формулы (14.111) и (14.112) для вероятностей ошибок такие же, как если бы вместо К импульсов принимался бы только один импульс, но с амплитудой, в У К раз большей. В этом легко убедиться, умножая на У К и подставляя в (14.69), (14.72) и (14.73). Итак, эффективное отношение сигнал/шум по напряжению на выходе приемника (при детекторе рассмотренного типа) пропорционально квадратному корню из числа принятых независимых отраженных импульсов.

Детектор, выделяющий огибающую.

В предыдущем разделе «принятый» сигнал, который мы теперь будем обозначать через считался равным

где гауссовский шум. Согласующие фильтры, разработанные для оптимального приема таких сигналов, иногда затруднительно выполнить практически, так как они чувствительны к фазе радиочастоты. Поэтому часто желательно сначала получить огибающую сигнала, т. е. выпрямить сигнал и обычным образом пропустить его через фильтр низких частот так, чтобы перед специальной обработкой сигнала в нем остались только составляющие модулирующих частот. Следует понимать, что некоторая часть содержащейся в сигнале информации при этом теряется.

Имея дело с сигналом описываемым равенством (14.113), целесообразно разложить в ортогональный ряд, используя собственные функции корреляционной функции шума, так как случайные коэффициенты такого разложения являются гауссовскими и независимыми. Мы, однако, ничего не выиграем, разлагая в такой ряд огибающую ибо при этом коэффициенты не являются уже ни гауссовскими, ни независимыми. Следовательно, нужно выбрать другую систему наблюдаемых координат. Обычная процедура, которой мы будем следовать здесь, состоит в том, что в качестве наблюдаемых координат берутся выборочные значения огибающей через равные интервалы времени, достаточно большие для того, чтобы отдельные выборки можно было с удовлетворительным приближением считать независимыми. Как и прежде, будем предполагать, что период повторения импульсов разделяется на интервалы равной длительности и что требуется определить наличие эха от отражающего объекта в каждом из этих интервалов. Упрощающие предположения, сделанные в предыдущем разделе, сохраняются и здесь.

Предположим также, что радиолокатор работает в заданном направлении настолько долго, что принято К. отраженных импульсов, и рассмотрим некоторый частный интервал дистанции. В качестве наблюдаемых координат выберем последовательность значений огибающей по одной в рассматриваемо интервале времени после каждого излученного импульса.

Сигнал на входе второго (демодулирующего) детектора приемного устройства радиолокатора равен, как и прежде,

Его можно записать в форме узкополосного сигнала. Согласно равенству (8.82), имеем

где — гауссовские случайные величины, обладающие свойствами, изложенными в § 8.5. Пусть детектором служит идеальный детектор, выделяющий огибающую; тогда сигнал на выходе

его согласно (8.79) и (8.85 а), равен

Согласно равенству (8.91), плотность распределения вероятностей огибающей в момент t в предположении, что измеряемым сигналом является только шум, равна

где Если измеряемым сигналом является сумма синусоиды и шума, то, согласно (8.115), плотность распределения вероятностей для огибающей равна

Поскольку отдельные приближенно независимы, отношение вероятностей для выборок хорошим приближением может быть записано в виде к

Итак, критерий отношения правдоподобия состоит в выборе гипотезы (цель имеется), если

Функция Бесселя имеет разложение в ряд

Если, следовательно, отраженный от цели сигнал имеет малую амплитуду (малое отношение сигнал/шум), то верно приближенное равенство

Используя следующее приближение, верное для малых значений аргумента,

критерий, определяемый равенством (14.118), можно свести при малых сигналах к критерию

или просто

На практике применение аппроксимации, пригодной для слабых сигналов, часто оправдывается следующими соображениями: детектор, близкий к оптимальному, необходим только для слабых эхо-сигналов, ибо сильные сигналы могут быть обнаружены и с помощью приемника, далекого от оптимального. Вместе с тем описанный выше критерий легко применить, так как суть попросту сигналы на выходе квадратичного детектора, отсчитываемые через равные промежутки времени. Вероятности детектирования применительно к квадратичному детектору, выделяющему огибающую, табулированы Маркумом.

Фазовый детектор.

В качестве заключительного примера рассмотрим так называемый фазовый детектор, который может быть полезным при обнаружении движущихся объектов. Мы опять-таки будем искать критерий наличия эхо-сигналов, отраженных от цели в фиксированном интервале дистанции. Предположения, сделанные в предыдущих примерах, сохраняются и здесь. Сигнал на входе детектора определяется равенством (14.114), которое может быть переписано в виде

где

и

В качестве наблюдаемых координат берется последовательность К значений фазы по одной в рассматриваемом интервале времени после каждого излученного импульса (эти значения фазы сами по себе должны находиться с помощью соответствующей процедуры оценки; см. § 14.6). Если имеется только шум, то плотность распределения вероятностей для фазы в некоторый момент t имеет вид

Если, помимо шума, в сигнале присутствует синусоидальная составляющая, то плотность распределения вероятностей для равна произведению на как это следует из (8.118). При большом отношении сигнал/шум, когда много больше обычно мала и в качестве приближенного выражения для плотности можно использовать формулу (8.114). Заменяя на на и умножая на с тем, чтобы получить плотность для фиксированного находим

Тогда отношение правдоподобия для К независимых выборок равно

и мы приходим к следующему критерию правдоподобия: цель отсутствует, если

Этот критерий можно слегка изменить и сделать применимым к обнаружению целей, движущихся относительно радиолокатора с известной постоянной скоростью. Движение объекта приводит к допплеровскому изменению частоты. При импульсах обычной длительности и для таких целей, как корабли или самолеты, это изменение частоты на протяжении одного импульса приводит к почти незаметным изменениям фазы. Таким образом, можно считать, что чистый эхо-сигнал на протяжении одного импульса имеет постоянную фазу, но от импульса к импульсу фаза эта нарастает по линейному закону. Следовательно, отраженный

импульс должен иметь фазу где у — постоянная, зависящая от скорости цели. В этом случае в качестве наблюдаемых координат выбираются не и условие отсутствия цели, обладающей заданной скоростью, принимает вид