9.2. Случайные воздействия
Соотношения между воздействиями и откликами, рассмотренные в предыдущем параграфе, выражают отклик линейной системы с фиксированными параметрами на воздействие, являющееся известной функцией времени. Пусть теперь воздействие на систему является выборочной функцией некоторого вероятностного процесса. Если мы знаем, какой именно функцией времени является заданная выборочная функция, то мы можем непосредственно применить результаты § 9.1. Чаще, однако, все, что известно об выборочной функции, задающей воздействие на систему, — это лишь свойства соответствующего вероятностного процесса. Так, например, может быть известно лишь то, что воздействие является выборочной функцией гауссовского вероятностного процесса с заданными средним значением и корреляционной функцией. Встает вопрос о том, применимы ли результаты предыдущего параграфа в таком случае.
Предположим, что воздействие на устойчивую линейную систему с фиксированными параметрами является выборочной функцией ограниченного вероятностного процесса. Так как для такого процесса ограничены все выборочные функции, то из определения устойчивости следует, что определяющий свертку
интеграл сходится для каждой выборочной функции и, следовательно, дает соотношение между выборочными функциями на
входе и на выходе системы. Из фактов, приведенных в § 4.7, вытекает также более общее предложение, в силу которого интеграл (9.30) сходится для всех выборочных функций, за исключением некоторой совокупности их, имеющей вероятность нуль, если
Поскольку рассматриваемая система предполагается устойчивой, последнее условие удовлетворяется, если 
ограничено для всех т. В частности, если вероятностный процесс на входе системы стационарен или стационарен в широком смысле и имеет первый момент, то 
и условие, о котором идет речь, удовлетворяется. Следует попутно отметить, что, согласно неравенству Шварца,
так что если 
— выборочная функция стационарного вероятностного процесса с конечным моментом второго порядка, то интеграл (9.30) сходится для всех выборочных функций, за исключением совокупности их, имеющей вероятность нуль. При этом, если процесс на входе системы стационарен, то
