6.4. Разложение вероятностных процессов в ортогональные ряды

Разложение в тригонометрические ряды. Непериодическая функция действительной переменной может быть, конечно, разложена в ряд Фурье по комплексным экспонентам или по синусам и косинусам, причем ряд этот будет представлять на некотором конечном интервале Такое разложение не единственно, ибо ряд можно выбрать так, чтобы он сходился к некоторой периодической функции, совпадающей с при

и коэффициенты этого ряда никак не будут зависеть от поведения вне интервала Для вероятностного процесса ситуация аналогична, однако усложнения возникают при рассмотрении корреляции между коэффициентами.

Предположим, что мы, как и в предыдущем параграфе, рассматриваем стационарный в широком смысле процесс, но отказываемся от всяких условий его периодичности. Разложим этот процесс формально в ряд Фурье, представляющий процесс в интервале т. е.

где

В § 6.3 мы показали, что для периодического процесса случайные коэффициенты Фурье при не коррелированы между собой. Можно показать, что и обратно, отсутствие корреляции между коэффициентами свидетельствует о периодичности процесса То, что периодичность (или ее отсутствие), которая кажется условием, наложенным на поведение процесса вне интервала влияет на коэффициенты разложения, действующего только внутри интервала объясняется тем, что мы имеем дело только со стационарными в широком смысле вероятностными процессами. Требование стационарности приводит к тому, что структура, которую процесс может иметь внутри некоторого интервала, должна быть статистически аналогична его структуре в любом другом интервале той же длины.

Поскольку рассматриваемый сейчас процесс не обязательно является периодическим, корреляционная функция не может быть простым образом выражена через дисперсии коэффициентов Фурье процесса как это имело место в равенстве (6.22). Теперь мы имеем

причем это равенство справедливо лишь тогда, когда t и находятся в одном и том же интервале длины . В общем случае существенно упростить это выражение невозможно.

Так как разложение в ряд Фурье, задаваемое равенствами (6.27 а) и (6.27 б), оказывается относительно простым, если коэффициенты ряда не коррелированы между собой, и его часто применяют в этом предположении, то интересно отметить, что при неограниченном увеличении длины интервала нормированная корреляция между различными коэффициентами стремится к нулю Иными словами, если , то при постоянных

Далее, если при таким образом, что остается постоянным, то

где — значение спектральной плотности вероятностного процесса при

Чтобы показать это, заметим, что, согласно (6.21),

Полагая получаем

или, полагая

При и постоянных тип внутренний интеграл для всякого при стремится к и весь интеграл в пределе обращается в нуль. Если при

так, что остается постоянным, то интеграл стремится к

Отсюда непосредственно следуют равенства (6.29 а) и (6.29 б).

Для некоторых приложений более удобным оказывается разложение стационарного в широком смысле действительного вероятностного процесса в ряд Фурье не по экспонентам, а по синусам и косинусам. В этих случаях мы можем написать

где — удвоенная действительная часть

удвоенная мнимая часть

Способом, аналогичным тому, которым были доказаны равенства (6.2 9 а) и (6.29 б), можно показать, что при и постоянных шип

и

Далее, если при так, что остается постоянным, то

Таким образом, при неограниченном увеличении интервала разложения по синусам и косинусам коэффициенты Фурье также оказываются не коррелированными между собой

Разложение в ортогональные ряды с некоррелированными коэффициентами (теорема Карунена—Лоэва).

Как мы показали выше,

непериодический вероятностный процесс не может быть записан в виде тригонометрического ряда Фурье с некоррелированными случайными коэффициентами. Оказывается, однако, что если, как это часто делают, понимать термин ряд Фурье в широком смысле, т. е. имея в виду любой ряд по ортогональным функциям с соответственно определенными коэффициентами, то непериодический процесс будет обладать разложением в ряд Фурье с некоррелированными коэффициентами. Мы сейчас уточним это утверждение и затем покажем, как определить искомое разложение.

Назовем ортогональным разложением вероятностного процесса в данном интервале разложение, имеющее вид

где

— действительные или комплексные числа. «Равенство» в (6.32) означает, что для каждого

В § 6.3 было показано, что для стационарного периодического процесса такое разложение осуществляется, если а равны соответствующим случайным коэффициентам Фурье. В настоящем параграфе мы отметили, что если условие периодичности нарушается, то равенство (6.336) при оказывается неверным и выполняется лишь в пределе при . Однако всякий вероятностный процесс — даже нестационарный, — обладающий непрерывной корреляционной функцией, можно разложить в ортогональный ряд по некоторой системе функций Чтобы определить функции и числа предположим, что для некоторого множества функций чисел и случайных величин выполняются равенства (6.32) и (6.33). Тогда

Используя выражение (6.34) для получаем

или

На языке интегральных уравнений это означает, что числа должны быть собственными значениями, а функции собственными функциями интегрального уравнения

И наоборот, взяв в (6.32) в качестве положительные значения квадратных корней из собственных значений и собственных функций уравнения (6.36), мы можем построить ортогональное разложение вероятностного процесса с непрерывной корреляционной функцией, справедливое в интервале а Пусть ненулевые собственные значения уравнения (6.36) (все положительные), причем собственные значения кратности обозначаются различными индексами. Обозначим через положительные значения квадратных корней из Пусть, далее, совокупность ортонормированных собственных функций уравнения (6.36), причем соответствует Пусть, наконец, случайные величины определяются равенством

Тогда

Итак, равенство (6.336) выполняется. Равенство (6.33 а) также выполняется, так как функции были выбраны ортонормированными. Остается показать, что равенство (6.32) выполняется в том смысле, что является пределом в среднем частных сумм, входящих в правую его часть. Иными словами, мы должны показать, что

Если мы положим

то непосредственным вычислением получим

Следовательно,

Однако, согласно теореме Мерсера, последнее слагаемое в правой части при сходится к Итак, равенство (6.39) выполняется, что и требовалось показать.

Энергия шумового сигнала за интервал времени равна

Этот результат является обобщением равенства (6.24). Итак, «спектральное разложение» по функциям может быть всегда произведено. Изученное нами общее ортогональное разложение на конечном интервале включает разложение периодических процессов в качестве частного случая, в котором собственными функциями (6.36) служат комплексные экспоненты (или синусы и косинусы).

Разложение (6.32) очень полезно в некоторых теоретических вопросах; однако практическая его ценность сильно ограничивается двумя обстоятельствами: процедура отыскания решений интегральных уравнений вида (6.36) в общем случае неизвестна, и разложение сигнала или его мощности по системе ортонормированных функций не являющихся синусами и косинусами, не имеет той простой технической интерпретации, какую разложение по частотам имеет, например, при изучении фильтров. Мы закончим этот параграф примером, в котором собственные функции могут быть найдены как решения соответствующего дифференциального уравнения.

Пример 6.4.1. В примере 4.5.1 мы нашли корреляционную функцию «случайного телеграфного сигнала»

Если мы запишем в виде

то будет иметь нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию

Найдем теперь ортогональное разложение в интервале Мы должны найти собственные значения и собственные функции интегрального уравнения

Сделав подстановки приведем уравнение (6.46) к внду

Мы можем решить уравнение (6.47), найдя линейное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет и затем, подставив общее решение этого дифференциального уравнения в (6.47), найти Я. Уравнение (6.47) можно переписать в виде

Дважды дифференцируя это равенство, получим

и

откуда

или

Итак, функция удовлетворяющая интегральному уравнению (6.47), должна удовлетворять также однородному линейному дифференциальному уравнению (6 48). Подставим общее решение уравнения (6.48) обратно в (6.47) и рассмотрим по отдельности случаи Пусть сначала Тогда

и мы можем написать, что

При этом дифференциальное уравнение принимает вид

его общее решение

Подставляя это выражение в левую часть интегрального уравнения (6.47), выполняя интегрирование и приводя подобные члены, получаем

Для того чтобы функция удовлетворяла интегральному уравнению, коэффициенты при слагаемых с должны быть равны нулю, т. е.

Складывая (6.50) и (6 51), получаем

Если то это равенство не может иметь места ни при каком а, удовлетворяющем условию Следовательно, если это равенство выполняется, то обязательно Подстановка этого равенства в (6.50) дает

что не может быть верно для какого а при Таким образом, мы приходим к выводу, что при интегральное уравнение удовлетворяться не может.

Рассмотрим теперь случай При этом

и если мы положим

то решение дифференциального уравнения принимает вид

Если заменить на а, то данное решение совпадет с тем, которое мы имели в первом случае; следовательно, как и там, должны выполняться условия (6.50) и (6.51). Нетрудно проверить, что этого не может быть при Итак, возможны два случая: Если то мы должны иметь

или, возвращаясь к

Обозначим ненулевые решения этого последнего уравнения через (их имеется бесконечное множество). Тогда, заменяя, согласно определению числа на найдем, что правая часть (6.49) превращается в так что интегральное уравнение удовлетворяется. Аналогичными рассуждениями можно показать, что при интегральное уравнение удовлетворяется, если — решение уравнения

Подытоживая все сказанное, мы видим, что система собственных функций и соответствующих им собственных значений уравнения (6.47) имеет вид

где удовлетворяют уравнению и

где удовлетворяют уравнению

Мы не рассмотрели еще тех случаев, когда или является собственным значением. Но в действительности это невозможно, что можно показать непосредственно (задача 4). Итак, равенства (6.52) и (6.53) определяют полную систему собственных значений и собственных функций.

В соответствии с теоремой настоящего параграфа, симметричный (т. е. с нулевым математическим ожиданием) случайный телеграфный сигнал может теперь быть записан в виде

где взаимно некоррелированные случайные величины с равным нулю средним значением и равной единице дисперсией и где

а соответственно решения уравнений