Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
14.4. Статистические оценкиСтатистическая оценка может быть кратко описана следующим образом: наблюдается событие, которое может быть вызвано любой одной причиной из семейства взаимно исключающих друг друга возможных причин (или связано с любым одним явлением из семейства возможных явлений природы). Каждой из этих возможных причин приписано значение определенного параметра или совокупности параметров. Требуется по результатам наблюдения определить, которая из причин скорее всего имеет место, т. е. найти соответствующее значение параметра или совокупности параметров. Итак, как и в случае статистической проверки гипотез, мы зададим пространство У всех возможных значений некоторой наблюдаемой величины (или величин) и совокупность известных вероятностей Эта абстрактная формулировка станет, может быть, более ясной, если мы разъясним ее на простом примере. Пусть известно, что некоторая величина у определяется гауссовским распределением с нензвестным средним значением
являющееся функцией точки у пространства У. При тех же условиях можно поставить задачу оценки Согласно определению оценки, ею является всякая функция от у, независимо от того, дает ли она хорошее, отличное или смехотворно произвольное значение для истинного значения параметра. Существуют различные критерии, позволяющие судить о пригодности и качестве оценки. Во-первых, когда распределения в У полностью определяются заданием а, так что каждая плотность из семейства плотностей распределений вероятностей в Y может быть записана в виде
где
Если распределение вероятностей в У не определяется полностью одним параметром, то условие, соответствующее (14.39), тем не менее может быть написано; однако в этом случае оно представляет собой более сильное ограничение. Так, например, если семейство распределений определяется двумя параметрами а и
Несмещенность не является достаточной гарантией качества оценки. Оценка а
Если а
Условие оптимальности оценки, которое мы будем употреблять, будет состоять в том, что среди всех несмещенных оценок данного класса оптимальная оценка должна будет обладать минимальной дисперсией. Как и при проверке гипотез, нередко представляет интерес, насколько улучшаются статистические выводы с увеличением числа независимых наблюдений. Пусть дана последовательность оценок Оценка наибольшего правдоподобия.Принцип наибольшего правдоподобия, изложенный в предыдущем разделе, применим также и к оценкам. Интуитивная идея такого применения состоит в следующем. Пусть при некотором частном наблюдении получено значение у и при этом известно, что в у действует какая-либо плотность из семейства плотностей распределения вероятностей
Это уравнение называется уравнением правдоподобия. Решение его относительно а есть функция а(у), являющаяся некоторой оценкой для а. Возможны решения, имеющие вид являются разумными оценками, так как не зависят от у, и мы исключим их из рассмотрения. Остальные решения уравнения (14.43) называются оценками наибольшего правдоподобия. Известно, что оценки наибольшего правдоподобия обладают свойствами, которые позволяют найти при некоторых обстоятельствах иные оправдания их применения, помимо изложенного выше грубо интуитивного оправдания. При определенных условиях оценки наибольшего правдоподобия обладают минимальной дисперсией в широком классе несмещенных оценок. При более общих условиях оценки наибольшего правдоподобия являются состоятельными и обладают асимптотически минимальной дисперсией. Если имеется
относительно Пример 14.4.1. Пусть У есть
и требуется оценить
Эта оценка является несмещенной, поскольку
Так как
и не зависит от Оценка
Мы можем теперь показать, что среди всех несмещенных линейных оценок
где
поэтому числа
Дисперсия
Согласно равенству (14.50) и неравенству Шварца,
и, следовательно,
Наблюдения и статистики.До сих пор, рассматривая как проверку гипотез, так и задачи, связанные с оценками, мы предполагали заданным пространство результатов наблюдений У, или выборочное пространство. Во многих классических процедурах проверки гипотез производится некоторое число N наперед заданных измерений или наблюдений, которые и доставляют статистические данные. Эти N измерений дают совокупность Предположим, например, что с помощью радиолокатора, работающего импульсами, определяется наличие отражающего объекта в определенном направлении на расстоянии от 20 до 21 мили. В идеальном случае данные, которые поступают на приемное устройство радиолокатора и на основе которых мы можем делать необходимые выводы, состоят из последовательности отрезков, по одному на каждый импульс, с непрерывной записью напряжения как функции времени, длительностью 2/186000 сек. (время, в течение которого радиоволны пробегают 2 мили). Непрерывная запись такого рода содержит несчетное множество значений. Уменьшить это количество данных можно различными путями. Так, например, можно отсчитывать каждый отраженный импульс лишь однажды, т. е. в течение каждого интервала времени, соответствующего дистанциям от 20 до 21 мили, один раз измерять амплитуду принятого сигнала. Предположим, что радиолокатор работает в данном направлении в течение времени, достаточного для излучения и возвращения обратно К импульсов. Тогда выборочная точка имеет Сокращение количества данных при переходе от исходного пространства измерений к выборочному пространству можно рассматривать как отображение или преобразование. Если исходное пространство результатов наблюдений обозначить через М, а входящие в него точки через Совершенно очевидно, что выбор статистики является частью общей статистической задачи и что его нужно делать с должным вниманием. Обычно при сокращении исходных данных часть информации, пригодной для отыскания решения, теряется; однако это происходит не всегда. Так, например, можно показать, что если про некоторую систему величин известно, что эти величины распределены в соответствии с гауссовским законом распределения вероятностей с неизвестными средним значением и дисперсией, и если производятся Гренандер ввел термин «наблюдаемые координаты» для начальной статистики, используемой для получения статистических выводов, касающихся вероятностных процессов. Этот термин кажется подходящим для ситуаций, которые мы здесь рассматриваем, и мы будем пользоваться им в последующих параграфах.
|
1 |
Оглавление
|