14.5. Передача информации фиксированными сигналами на фоне гауссовского шума

В качестве первой из статистических задач о приеме сигналов мы рассмотрим следующую. В фиксированном интервале времени

передается один из двух возможных известных сигналов Переданный сигнал искажается под действием накладывающегося на него стационарного гауссовского шума с известной корреляционной функцией, так что принятый сигнал имеет вид

где — шум. Задача состоит в том, чтобы в точке приема решить, который из двух сигналов, или был на самом деле передан. Если — синусоидальные сигналы различных частот, то данная задача совпадает с рассмотренной в § 14.1 задачей о телеграфной радиосвязи, работающей с частотной манипуляцией. Однако теперь сигналы могут быть совсем произвольными, и поэтому задача, о которой идет речь сейчас, является более общей. Как мы увидим в § 14.7, она возникает также и при рассмотрении радиолокационных устройств. Основная идеализация в задаче, описанной выше, применительно к большинству практических приложений состоит в том, что здесь не вводятся параметры, учитывающие произвольный характер амплитуды и фазы сигналов . Изменения, обусловленные введением неизвестной амплитуды и неизвестной фазы, будут рассмотрены ниже.

Поставленная задача есть задача о проверке статистических гипотез. Гипотеза состоит в том, что фактически переданным сигналом был а гипотеза — в том, что фактически передан был сигнал Результатом наблюдения является действительная функция на фиксированном интервале пространством результатов наблюдений служит множество всех таких функций. Выбор между этими двумя гипотезами мы сделаем с помощью критерия отношения правдоподобия. Уровень значимости критерия отношения правдоподобия и величина порога зависят от того, какая именно конкретная задача имеется в виду. Например, применительно к системам телеграфной связи обычно целесообразно полагать априорные вероятности равными и приписывать ошибкам обоих родов одинаковые потери. Тогда порогом при использовании критерия отношения правдоподобия будет 1.

Первым этапом является выбор статистики, или системы наблюдаемых координат, и, следовательно, задание выборочного пространства, в котором вычисляется отношение правдоподобия. Следуя Гренандеру, мы примем в качестве наблюдаемых координат множество взвешенных средних значений определяемое следующим образом. Согласно результатам § 6.4, мы знаем, что

шум может быть записан в виде

где

и где — система ортонормированных функций, удовлетворяющих условию

Поскольку — действительная функция, также могут быть выбраны действительными, и мы будем предполагать, что так оно и есть. Выберем в качестве наблюдаемых координат

Если мы определим равенствами

то, согласно (14.56), (14.57) и (14.54), будем иметь

Из (14.54) в соответствии с принципом, изложенным в § 8.4, следует, что любая конечная совокупность величин обладает гауссовским совместным распределением. Каждая величина имеет нулевое среднее значение, и любые две различные величины не коррелированы; следовательно, все являются взаимно независимыми (гауссовскими) случайными величинами. суть не случайные величины, а числа. Следовательно, при все являются взаимно независимыми гауссовскими случайными величинами со средними значениями и дисперсиями Аналогично при все взаимно независимые гауссовские случайные величины со средними значениями и дисперсиями

Причина такого выбора наблюдаемых координат теперь ясна. Координаты взаимно независимы, и поэтому можно прямо написать плотность совместного распределения вероятностей для при произвольном Мы можем написать приближенное выражение для отношения правдоподобия, учитывающее только и затем перейти к пределу при Важным является именно то, что данный выбор наблюдаемых координат приводит к независимым случайным величинам. Такое построение, использующее разложение по ортогональному базису, является бесконечномерным аналогом приведения к диагональному виду матрицы ковариаций конечной системы случайных величин.

Если на не наложено никаких ограничений, кроме того, что это корреляционная функция, то ортонормированные функции могут образовывать или не образовывать полную систему. Если система функций не является полной, то существуют функции ортогональные ко всем т. е. обладающие тем свойством, что для всех

Если некоторая функция удовлетворяющая при всех к условию (14.59), кроме того, удовлетворяет еще и условию

то с вероятностью единица можно принять правильное решение. Это можно показать следующим образом. Пусть — функция,

удовлетворяющая при всех условиям (14.59) и условию (14.60); тогда

Вторые интегралы в правых частях обоих выражений равны нулю, гак как ортогональна ко всем и, следовательно, [согласно (14.53), ортогональна к Итак, если был передан сигнал , то

а если передан был сигнал то

причем различны. Ситуацию, описанную в этом абзаце, Гренандер называет экстремальным сингулярным случаем. В обычных задачах такая ситуация не имеет места, ибо если — фильтрованный белый шум, то образуют полную систему ортонормированных функций. Интуитивно ясно, что экстремальным сингулярным случаем является тот случай, когда от шума можно полностью «отстроиться» (в качестве простого примера см. задачу 14.5).

Обратимся теперь к обычной ситуации, когда не существует функции ортогональной ко всем и удовлетворяющей условию (14.60). Это тот случай, при котором функции образуют полную систему. Так как есть система взаимно независимых гауссовских случайных величин с дисперсиями и средними значениями согласно гипотезе согласно гипотезе то натуральный логарифм отношения правдоподобия для первых N наблюдаемых

координат, согласно выражению (14.25), равен

Критерий отношения правдоподобия, основанный на этих наблюдаемых координатах, приводит тогда, согласно (14.24), к выбору при

и к выбору в остальных случаях. Прежде чем рассматривать предельные соотношения при полезно выразить отношение правдоподобия в другой форме. Пусть

Тогда

Заметим также для использования в дальнейшем, что, согласно (14.63),

Можно показать, что сходится при одна из гипотез справедлива). Итак, предельная форма критерия отношения правдоподобия определяется неравенством

Если

то с помощью относительно несложных вычислений, используя неравенство Чебышева, можно показать, что

по вероятности, если справедлива

по вероятности, если справедлива

Это также сингулярный случай, когда в пределе возможно идеальное обнаружение. Если бесконечный ряд (14.67) сходится к конечному пределу (что является единственной возможной альтернативой, поскольку ряд состоит из положительных членов), то предельное отношение правдоподобия не сингулярно, и мы называем этот случай регулярным. В некоторых системах наложенные на сигнал и шум естественные ограничения гарантируют сходимость ряда (14.67). Если, например, рассматривать шум как белый шум, вводимый на вход приемника, то сингулярный случай не может иметь места. Доказательство этого предложения составляет содержание задачи 14.6. Обратимся теперь к рассмотрению регулярного случая.

Фиксированный сигнал в гауссовском шуме — регулярный случай.

Критерий отношения правдоподобия в форме (14.66) неудобен в тех случаях, когда отношение правдоподобия находится в виде предела и функция определяется суммой, которая при превращается в бесконечный ряд. Формально можно заметить, что если не возникает затруднений с переходом к пределу и если предел обозначить через то, согласно равенствам (14.64) и (14.65),

где есть решение интегрального уравнения

Можно строго показать, что если сходится в среднеквадратичном смысле к интегрируемой в квадрате функции то отношение правдоподобия определяется равенством (14.68) и удовлетворяет интегральному уравнению (14.69). Обратно, если интегрируемая в квадрате функция является решением уравнения (14.69), то она может быть использована в (14.68) для задания отношения правдоподобия. Если собственные функции не образуют полной системы, то функция — не единственная.

В оставшейся части этого параграфа мы будем предполагать, что отношение правдоподобия определяется равенствами (14.68) и (14.69). Во-первых, отметим тесную связь, которая имеется между критерием отношения правдоподобия и фильтром, обеспечивающим максимум отношения сигнал/шум, рассмотренным в § 11.7. Предположим для удобства, что Определим функцию равенством

Тогда уравнение (14.69) принимает вид

или

а неравенство, определяющее критерий, принимает вид

Согласно уравнению (14.70), есть весовая функция фильтра, обеспечивающего максимум отношения сигнал/шум в момент Т при входном сигнале и корреляционной функции шума Следовательно, критерий, определяемый неравенством

(14.71), требует подачи принятого сигнала на фильтр, обеспечивающий максимум отношения сигнал/шум и сравнения отклика его с откликом того же фильтра на сигнал

Вероятности ошибок обоих родов могут быть вычислены непосредственно, так как при обеих гипотезах является гауссовской случайной величиной. Если фактически передан был сигнал то, используя (14.68), имеем

Из (14.69) следует, что может быть записано в форме

Теперь вероятность того, что принятый сигнал идентифицируется с тогда как фактически был передан сигнал

или

Вероятность того, что принятый сигнал идентифицируется с тогда как фактически был передан сигнал равна

Если шум является белым шумом и его корреляционной функцией служит импульсная функция то равенство (14.69) принимает вид

где N — мощность шума. Подставляя этот результат в (14.68), получаем

Если теперь оба сигнала обладают равными энергиями, то последние два слагаемых в (14.77) взаимно уничтожаются, и при критерий правдоподобия оказывается очень простым: следует выбрать если

и в остальных случаях. Детектор, осуществляющий критерий (14.78), называется корреляционным детектором. Конечно, корреляционная функция, строго говоря, не может быть импульсной функцией; однако постольку, поскольку это связано с интегральным уравнением (14.69), приближенное представление корреляционной функции с помощью импульсной возможно, если спектральная плотность шума постоянна в диапазоне частот, значительно более широком, чем диапазон частот, занимаемый сигналом. Такая аппроксимация вполне уместна в обычном случае узкополосных сигналов и узкополосного белого шума; необходимо лишь, чтобы средняя частота была намного больше ширины полосы шума, а эта последняя — больше ширины полосы сигнала.