5.4. Центральная предельная теорема

Если рассматривается случайная величина или вероятностный процесс с конечными средним значением и дисперсией, причем выборки независимы, то распределение вероятностей выборочного среднего при неограниченном увеличении числа независимых выборок стремится к гауссовскому, каково бы ни было распределение вероятностей измеряемой величины или процесса. Этот результат известен как случай равных слагаемых в центральной предельной теореме.

Мы докажем сейчас этот результат, используя то обстоятельство, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть — нормированное выборочное среднее

В силу независимости выборок, из равенства (5.8) и определения

выборочного среднего следует, что

Введем, далее, нормированную случайную величину тогда

Характеристическая функция величины у равна, следовательно,

Выборки, а значит, и нормированные выборки представляют собой независимые случайные величины, имеющие одинаковые распределения вероятностей (те же, что и у измеряемой случайной величины или вероятностного процесса); поэтому из (4.33) следует, что

где

Выясним теперь поведение характеристической функции нормированного выборочного среднего при неограниченном увеличении числа выборок. С этой целью разложим характеристическую функцию величины по формуле Тейлора с остаточным членом 1). Так как среднее значение равно нулю, а дисперсия — единице, то

здесь остаточный член определяется формулой

где — вторая производная характеристической функции величины Существование второго момента величины

влечет за собой существование непрерывной второй производной от следовательно,

и, в частности, это верно при и фиксированном Логарифмируя и используя (5.17), получаем

Логарифм в правой части последнего выражения может быть представлен в виде

где остаточный член

Таким образом, мы получаем

Из (5.19) следует, что при второе слагаемое в правой части (5.22) обращается в нуль. Третье слагаемое также обращается в нуль, ибо, согласно (5.21),

Таким образом,

и, следовательно,

Правая часть этого выражения равна характеристической функции гауссовской случайной величины с нулевым средним и дисперсией единица. Из непрерывности этой предельной функции при

следует, что

Итак, если отдельные выборки независимы и имеют конечное среднее значение и конечную дисперсию, то предельное распределение вероятностей выборочного среднего является гауссовским.

Дополнительные замечания.

Можно показать, что тенденция распределения вероятностей суммы случайных величин становиться гауссовским, когда неограниченно увеличивается число слагаемых, сохраняется и при существенно более слабых предположениях. Так, например, можно показать, что если слагаемые имеющие средние и дисперсии независимы и если

где то нормированная сумма этих случайных величин имеет в пределе при гауссовское распределение вероятностей. Этот результат известен как теорема Ляпунова. При некоторых условиях можно отказаться даже от требования независимости слагаемых, и тем не менее предельное распределение для суммы будет оставаться гауссовским. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что предельное распределение суммы случайных величин не всегда является гауссовским, и в каждом отдельном случае вопрос о применимости подобной теоремы должен быть исследован особо.

Все сказанное выше относится к предельному поведению при . При конечном, пусть даже очень большом, N гауссовское распределение может давать плохое приближение для хвостов

стов распределения вероятностей суммы, даже в тех случаях, когда предельное распределение действительно является гауссовским. Это, например, имеет место для суммы независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона, поскольку распределение вероятностей такой суммы при любом N также является пуассоновским.