6.7. Взаимные спектральные плотности

Нам часто приходится рассматривать вероятностные процессы, являющиеся суммами двух вероятностных процессов. Предположим, например, что корреляционная функция этого вероятностного процесса равна

Если процессы стационарны в широком смысле и их взаимная корреляционная функция также стационарна, т. е. является функцией только то процесс будет обязательно также стационарным в широком смысле, причем

и

Необходимо отметить, что суммарный процесс может быть стационарным в широком смысле и, следовательно, обладать спектральной плотностью, даже если процессы не являются стационарными (пусть, например, процессы независимы, стационарный имеют нулевые средние значения и одинаковые

корреляционные функции; тогда не являются процессами, стационарными в широком смысле; тем не менее процесс стационарен). Процессы могут быть также стационарными в широком смысле, но не обладать стационарной взаимной корреляционной функцией и сумма их может не быть стационарным в широком смысле процессом. В таких случаях, конечно, равенства (6.81) и (6.82) не могут быть написаны.

Если процессы имеют стационарную взаимную корреляционную функцию , то мы назовем ее преобразование Фурье взаимной спектральной плотностью. Итак,

Тогда

Поскольку не обязательно является четной функцией, плотность не обязательно действительна. Соотношение дает, если его применить к (6.83),

Равенства (6.82) и (6.85) позволяют приписать физический смысл действительной части взаимной спектральной плотности. Мы имеем

следовательно,

где символ обозначает действительную часть. Иначе говоря, действительная часть от или равна половине плотности мощности на частоте которая должна быть добавлена к плотностям мощности для получения плотности мощности их суммы. Если два стационарных процесса не коррелированы между собой, то их взаимная спектральная плотность равна на всех частотах нулю и спектральная плотность их суммы равна сумме спектральных плотностей этих процессов.