ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В гл. 6, 9, 11 и 14 мы имели дело с некоторыми линейными интегральными уравнениями. Это были или уравнения вида

где — постоянные, корреляционная функция, а X и — неизвестные, или уравнения вида

где имеют тот же смысл, — известная, а — неизвестная функция. Как в (П 2.1), так и в (П.2.2) функция называется ядром уравнения. Мы изложим здесь некоторые стандартные результаты теории интегральных уравнений, относящиеся к уравнениям вида (П.2.1) и (П.2.2).

Сначала, однако, необходимо ввести ряд определений.

П.2.1. Определения

Действительная или комплексная функция действительного переменного t называется интегрируемой в квадрате в интервале если

Из определения следует, что если функция интегрируема в квадрате, то таковы же комплексно сопряженная с ней функция и модуль

Для двух интегрируемых в квадрате функций можно показать (используя неравенство Шварца), что интеграл

существует. Если

то функции называются ортогональными друг другу в интервале . Если

то функция называется нормированной. Система функций (конечная или бесконечная) называется ортогональной, если всякая пара функций этого класса ортогональна. Если, кроме того, все нормированы, то они образуют ортонормированную систему функций.

Система ортогональных функций называется полной в классе функций, интегрируемых в квадрате в интервале а если произвольная функция интегрируемая в квадрате на может быть сколь угодно точно в среднеквадратичном смысле аппроксимирована линейной комбинацией функций т. е. если существуют такие константы что

Мы запишем это в виде

где «l.i.m.» означает предел в среднем (limit in the mean).

Функция, непрерывная в конечном интервале всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек, и имеющая в этих точках с обеих сторон конечные пределы, называется кусочнонепрерывной. Такая функция всегда интегрируема в квадрате в любом конечном интервале Однако существуют функции, интегрируемые в квадрате, но не кусочно-непрерывные.

Функция двух переменных удовлетворяющая условию

называется симметричной. Если действительная функция, то последнее условие принимает, конечно, вид

Симметричная функция обладающая тем свойством, что для всякой интегрируемой в квадрате функции

называется неотрицательно определенной. Если здесь символ, можно для всякой функции удовлетворяющей условию

заменить символом то функция называется положительно определенной. Как было показано в гл. 6, корреляционные функции удовлетворяют условиям следовательно, они являются неотрицательно определенными. Они могут быть, но могут и не быть положительно определенными.

П.2.2. Теоремы

Теперь мы можем сформулировать без доказательства основные теоремы, относящиеся к интегральным уравнениям вида (П.2.1). Если функция симметрична и

то уравнение (П.2.1) удовлетворяется по крайней мере при одном действительном числе и некоторой функции Для которой

Число к и функция удовлетворяющие уравнению (П.2.1), называются соответственно собственным значением и связанной

с ним собственной функцией интегрального уравнения. Они обладают следующими свойствами:

1. Если — собственные функции, связанные с собственным значением к, то где а и — произвольные числа, также есть собственная функция, связанная с к.

В частности, каждому собственному значению к соответствует по крайней мере одна нормированная собственная функция.

2. Если — различные собственные значения, то собственные функции связанные соответственно с ортогональны.

3. Имеется не более счетного множества (последовательности) собственных значений и всегда можно указать константу , для которой при всех

4. Со всяким собственным значением связано не более чем конечное число линейно независимых собственных функций. Целое число называется кратностью собственного значения Всякие линейно независимых собственных функций можно с помощью процесса Грама — Шмидта преобразовать в ортонормированных собственных функций.

Таким образом, если считать каждое значение столько раз, какова его кратность, то можно построить последовательность собственных значений (конечную или бесконечную) и соответствующую последовательность ортонормированных собственных функций в которой всякая функция будет связана с соответствующим причем не будет существовать собственных функций, ортогональных ко всем

5. Всякая интегрируемая в квадрате функция допускает сходящееся в среднеквадратичном смысле разложение

где

— некоторая функция, удовлетворяющая условию

6. Ядро может быть разложено в ряд

7. Если неотрицательно определено, то все отличные от нуля собственные значения являются положительными действительными числами.

8. Если положительно определено, то ортонормированная система собственных функций является полной и функцию в (П.2.9) можно принять равной нулю. Иными словами, всякая интегрируемая в квадрате функция может быть разложена в обобщенный ряд Фурье по ортонормированным собственным функциям:

где определяется равенством (П.2.10).

В дополнение к изложенному имеется теорема Мерсера, внешне аналогичная свойству 6, однако более сильная в тех случаях, когда она применима: если неотрицательно определено, то

где сходимость равномерна по и t, удовлетворяющим условиям

Интегральное уравнение (П.2.2) тесно связано с (П.2.1). Очевидно, если — собственная функция уравнения (П.2.1) с собственным значением X, то есть решение уравнения (П.2.2). Более общо, если

то, очевидно, решением уравнения (П.2.2) будет

С известными ограничениями это распространяется и на тот случай, когда есть бесконечная линейная комбинация собственных функций. Общая теорема, принадлежащая Пикару, состоит в следующем:

Уравнение (П.2.2) имеет интегрируемое в квадрате решение в том и только в том случае, когда

где

и выполняется условие

Решение, если оно существует, имеет вид

и является единственным, если система полна.

П.2.3. Рациональный спектр

Итак, мы изложили в самой общей форме условия существования решений задачи о собственных значениях (П.2.1) и некоторые важные свойства их. При этом остается открытым вопрос о способах отыскания собственных значений и функций. Для одного» специального класса корреляционных функций весьма важного в технических приложениях, уравнение (П.2.1) всегда можно решить явно относительно Речь идет о функциях имеющих своим преобразованием Фурье рациональные функции. В этом случае ядро имеет вид (строго говоря, мы должны были бы ввести другой символ, ибо первая функция есть функция двух аргументов, а вторая — одного), причем

где — неотрицательная рациональная интегрируемая четная функция. Неотрицательность и интегрируемость необходимы для того, чтобы функция была неотрицательно определенной, т. е. чтобы она могла быть корреляционной функцией. Четность делает действительной. Вводя переменную и используя специальные свойства можем написать

где полином степени относительно , a - полином d-й степени относительно Полином может не иметь действительных корней и всегда Легко понять эвристически, что для того, чтобы функция была решением уравнения она должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. В самом деле, заменяя согласно (П.2.18), имеем

Дифференцирование правой части по эквивалентно умножению подинтегрального выражения на . Следовательно,

Для того чтобы решить уравнение нужно сначала решить однородное дифференциальное уравнение Решение будет содержать параметр к и произвольных постоянных Это решение подставляется вместо в интегральное уравнение (П.2.1). При этом оказывается, что интегральное уравнение может удовлетворяться только при дискретной системе значений и что для каждого значения постоянные должны удовлетворять определенным условиям. Эти являются собственными значениями. Любая функция удовлетворяющая уравнению при значениях постоянных удовлетворяющих условиям, налагаемым на них при является собственной функцией связанной с Если имеется более чем одна линейно независимая функция связанная с то они могут быть ортогонализированы с помощью процесса Грама — Шмидта и затем нормированы. Строгое доказательство того, что уравнение (П.2.20) налагает необходимое условие на и что решения этого уравнения заведомо задают собственные значения и собственные функции дано Слепяном. Пример такой процедуры приведен в § 6.3.

Часто оказывается полезным разложение произвольной интегрируемой в квадрате функции в обобщенный ряд Фурье вида

(П. 2.13). Поэтому полезно знать условия, при которых образуют полную систему. Достаточное условие для того, чтобы собственные функции уравнения

образовывали полную систему, состоит в том, что должно быть преобразованием Фурье от спектральной плотности. Таким образом, в рассмотренном случае, когда есть преобразование Фурье от рациональной спектральной плотности, система всегда полна.

Далее, если корреляционная функция, являющаяся ядром, задается равенством (П.2.18), то интегральное уравнение (П.2.2) может быть непосредственно решено элементарными методами. Найдем решение, ограничившись случаем действительной функции Метод решения, который мы здесь приведем, до некоторой степени аналогичен подходу Слепяна к задаче о собственных значениях.

Как и в задаче о собственных значениях, можно показать, что решение интегрального уравнения должно удовлетворять линейному дифференциальному уравнению. В этом случае

Рассмотрим сначала случай При этом, согласно равенству решение, если оно существует, должно иметь вид

Задача теперь состоит в том, чтобы выяснить, каким условиям должна удовлетворять чтобы функция определяемая равенством (П.2.22), удовлетворяла интегральному уравнению. Мы найдем эти условия, подставляя из (П.2.22) в интегральное уравнение и выполняя повторные интегрирования по частям.

Во-первых, мы должны установить некоторые факты относительно поведения Согласно равенству (П.2.18), в рассматриваемом случае

и

Эти интегралы абсолютно сходятся, и существует при всех t, если Кроме того, если Г — замкнутый контур, содержащий внутри себя все вычеты, находящиеся в верхней полуплоскости плоскости то, в силу обычных соображений теории вычетов,

Из (П.2.25) следует, что при имеет производные всех порядков и

Аналогично, если Г — замкнутый контур, содержащий внутри себя все вычеты, расположенные в нижней полуплоскости плоскости то

Вычислим теперь Пусть коэффициент при равен тогда

где вычеты под знаком суммы — вычеты подинтегральной функции в (П.2.27). Аналогично

где под знаком суммы вычеты те же, что и в предыдущем равенстве. Следовательно,

и

Из результатов § 11.4 мы знаем, что может быть представлено в виде произведения где полином, все нули которого расположены в нижней полуплоскости плоскости полином, имеющий все нули в верхней полуплоскости Таким образом, согласно (П.2.25),

и

Запишем

тогда

Таким образом,

Интегрирование по частям дает

Слагаемые в двух первых суммах, соответствующие взаимно уничтожаются, так что эти суммы принимают вид

Интегрируя по частям интегралы третьей и четвертой сумм в (П.2.34), получаем

Слагаемые в двух первых суммах, соответствующие опять-таки взаимно уничтожаются, а оставшиеся слагаемые этих сумм дают

Процесс интегрирования по частям повторяется раз, причем всякий раз остаются непроинтегрированными интегралы вида

После каждого интегрирования, кроме последнего, средние слагаемые в проинтегрированных выражениях взаимно уничтожаются. В результате остаются линейные комбинации производных от у в двух граничных точках, умноженные на производную от [см. равенства (П.2.35) и (П.2.37)]. Итак, после интегрирований по частям мы получаем

где линейные комбинации производных от соответственно в точках а и Последний интеграл в (П.2.38), согласно (П.2.31), обращается в нуль, и, используя (П.2.28), мы получаем

Итак, функция определяемая равенством удовлетворяет интегральному уравнению в том и только в том случае, когда наложенное на однородное линейное граничное условие

тождественно удовлетворяется при всех Для выполнения условия достаточно, чтобы все были равны нулю; но это не необходимо. В самом деле, так как имеет степень d и

то всякая производная может быть представлена в виде линейной комбинации первых производных от Первые производных существуют и непрерывны всюду; следовательно, это справедливо и для точки, в которой т. е. для Таким образом, первую сумму в (П.2.40) можно заменить суммой линейно независимых слагаемых. В силу аналогичных же соображений вторая сумма в (П.2.40) также заменяется суммой линейно независимых слагаемых. Итак, остается линейно независимых условий, которым должны удовлетворять и ее производные в граничных точках а и

Легко видеть, что так как уравнение (П.2.2) непременно имеет решение, если есть собственная функция уравнения (П.2.1), имеющего то же ядро, то все эти собственные функции удовлетворяют линейным граничным условиям (П.2.40).

Если уравнение (П.2.2) при определяемом равенством (П.2.23), строго говоря, не имеет решения в силу того, что не удовлетворяет условиям (П.2.40), то тем не менее это уравнение всегда имеет сингулярное решение, т. е. такое, которое содержит импульсные функции и их производные. Чтобы показать

это, прибавим к задаваемому равенством (П.2.23), сумму

коэффициенты которой пока неизвестны. Подставляя эту сумму в левую часть уравнения (П.2.2), получаем выражение

Следовательно, при граничные условия исключаются и интегральное уравнение всегда может быть удовлетворено.

Откажемся теперь от ограничения иными словами, предположим лишь, что задается равенством (П.2.18). Выше мы показали, что решение интегрального уравнения должно быть также решением дифференциального уравнения (П.2.21). Покажем сейчас, что уравнение (П.2.2) при задаваемом равенством (П.2.18), имеет решение в том и только в том случае, если имеет решение какое-либо уравнение из некоторой системы связанных с ним уравнений только что рассмотренного типа.

Пусть — некоторое решение уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение

где

Нетрудно видеть, что

следовательно, если есть решение уравнения (П.2.44) при некоторой функции удовлетворяющей (П.2.43), то оно есть также решение уравнения (П.2.2). Наоборот, если есть решение уравнения (П.2.2) при задаваемой равенством (П.2.18), то

где выбранное произвольно решение уравнения (П.2.43). Пусть

тогда

Пусть, далее,

тогда есть решение уравнения (П.2.43) и, согласно есть решение уравнения (П.2.44) при Итак, есть решение уравнения (П.2.2) в том и только в том случае, когда оно является решением уравнения (П.2.44), в котором есть одна из функций, удовлетворяющих (П.2.43).

Таким образом, практический метод решения уравнения (П.2.2) состоит в применении оператора к общему решению уравнения (П.2.43) и подстановке полученного выражения обратно в интегральное уравнение. Если интегральное уравнение имеет обычное решение, то при соответствующем выборе произвольных постоянных им является найденное выражение. В противном случае, как было сказано выше, нужно прибавлять импульсные функции и их производные.