9.5. Распределения вероятностей отклика

В настоящей главе мы ставим себе задачу определения свойств вероятностного процесса на выходе линейной системы при возбуждении ее вероятностным процессом на входе. До сих пор мы ограничивались в основном задачей отыскания корреляционной функции отклика по заданным корреляционной функции воздействия и отклику системы на импульсное воздействие. Мы рассмотрели также задачу нахождения спектра отклика по заданным спектру воздействия и функции передачи системы, эквивалентную в применении к системам с фиксированными параметрами, возбуждаемым стационарными процессами, предыдущей задаче. Мы видели, что обе эти задачи можно решить, по крайней мере в принципе, если систему можно описать интегральным оператором типа (9.18). Если вероятностный процесс на входе является гауссовским, то, как было показано в § 8.4, вероятностный процесс на выходе также является гауссовским; следовательно, зная математическое ожидание и корреляционную функцию выходного процесса, можно в явной форме написать -мерные плотности распределений вероятностей выходного процесса. Если процесс на входе не является гауссовским, то распределение вероятностей процесса на выходе, вообще говоря, не определяется его корреляционной функцией и математическим ожиданием.

Поскольку это так, естественно встает вопрос о том, что можно предложить для отыскания распределения вероятностей процесса на выходе линейной системы при возбуждении ее негауссовским вероятностным процессом. Сказать по этому поводу можно лишь очень мало. По-видимому, кроме грубого метода вычисления всех моментов, не существует общего метода отыскания даже одномерного распределения вероятностей вероятностного процесса на выходе. Это, конечно, очень неутешительно, так как, во-первых, не все распределения задаются их моментами и, во-вторых, обычно практически невозможно выразить все моменты в удобной для вычислений форме. Однако есть несколько примеров задач такого типа, которые решены применительно к тем или иным конкретным устройствам; в большинстве таких примеров вероятностный процесс на входе хотя и не является гауссовским, но представляют собой некоторый нелинейный функционал или класс функционалов от гауссовских процессов 2); таковы, например, огибающая, абсолютное значение или квадрат гауссовского процесса.

Квадратичный детектор и видеоусилитель.

Важным и интересным примером служит расчет распределения вероятностей в момент

мент t на выходе системы, состоящей из фильтра промежуточной частоты, квадратичного детектора и фильтра видеочастоты, на вход которого подается белый гауссовский шум или сумма сигнала и белого гауссовского шума. Этот пример был впервые рассмотрен Кацем и Зигертом, и затем их результаты были усилены другими авторами. Мы будем в основном следовать изложению Эмерсона.

Прежде всего заметим, что, конечно, это один из тех примеров, когда на вход линейной системы подается не гауссовский процесс. В самом деле, хотя воздействие на входе фильтра промежуточной частоты является гауссовским процессом и отклик этого фильтра также является гауссовским, но зато воздействие на входе фильтра видеочастоты не является гауссовским, так как это есть отклик детектора, являющийся квадратом гауссовского процесса.

Фиг. 9.8. Линейная система с негауссовским воздействием на входе. I — фильтр промежуточной частоты; II — квадратичный детектор; III - фильтр видеочастоты.

Трудность задачи обусловлена наличием фильтра видеочастоты, ибо распределение вероятностей на выходе квадратичного детектора в момент t может быть вычислено непосредственно (см. §§ 3.6 и 12.2). Фильтр промежуточной частоты введен в задачу по двум причинам: из соображений технической правдоподобности и из соображений математической целесообразности. При постановке задачи можно было бы исходить из стационарного гауссовского процесса на входе квадратичного детектора, однако для того, чтобы строго обосновать некоторые этапы расчета (который мы здесь не приводим), необходимо наложить некоторые ограничения на природу процесса на входе. В частности, достаточным является условие, чтобы процесс на входе обладал спектром, равным квадрату функции передачи физически осуществимого устойчивого фильтра (т. е. таким спектром, какой получается при прохождении белого гауссовского шума через фильтр промежуточной частоты).

Пусть — функции передачи соответственно фильтров промежуточной частоты и видеочастоты, а

и их отклики на импульсные воздействия (фиг. 9.8). Пусть, далее, воздействие на входе фильтра промежуточной частоты, отклик на выходе этого фильтра, отклик на выходе фильтра видеочастоты. Предполагая, что оба фильтра устойчивы, мы можем написать

и

Следовательно,

Полагая приводим выражение (9.57) к виду

где

Основная идея решения состоит в разложении входных сигнала и шума в ряд по ортогональным функциям, выбранным таким образом, чтобы отклик в момент t мог быть записан в виде ряда независимых случайных величин. Как мы покажем ниже, это можно сделать, если выбрать в качестве системы ортогональных функций ортогональную систему собственных функций интегрального уравнения

Из равенства (9.59) мы видим, что функция симметрична относительно Можно также показать, что если

интегрируема в квадрате, абсолютно интегрируема, то

При этих условиях уравнение (9.60) имеет дискретную систему собственных значений и функций. Если, далее, для всех t, то функция является неотрицательно определенной; условие неотрицательной определенности функции эквивалентно условию неотрицательности правой части равенства (9.58), т. е. неотрицательности . Поскольку, однако, из (9.56) следует, что при Теперь из теоремы Мерсера вытекает, что

где собственные значения и ортонормированные собственные функции уравнения (9.60).

Подставляя (9.62) в (9.58), получаем

Предположим теперь, что входное воздействие состоит из сигнала, задаваемого функцией и выборочной функции белого гауссовского шума

Если мы положим

и

то отклик на выходе фильтра видеочастоты может быть представлен в форме

Пусть случайная величина, задаваемая значением в момент случайная величина, задаваемая значением значение Каждая из величин будет гауссовской случайной величиной, так как она является интегралом от гауссовского процесса. Следовательно, каждая из величин является гауссовской случайной величиной со средним значением . Далее, все величины взаимно независимы и имеют дисперсию так как

где спектральная плотность шума на входе, — импульсная функция.

Таким образом, главная часть решения задачи о нахождении одномерного распределения вероятностей отклика системы уже проведена. Равенство (9.67) задает как сумму квадратов независимых гауссовских случайных величин, и, следовательно, характеристическая функция величины может быть найдена прямым вычислением. Однако, после того как характеристическая функция получена, остается еще трудность в отыскании плотности распределения величины , т. е. в вычислении преобразования Фурье от характеристической функции.

Характеристическая функция величины имеет вид

Поскольку осреднение производится по распределению вероятностей гауссовской случайной величины

Интегралы можно вычислить путем дополнения до полных квадратов, что дает

Если воздействие на систему состоит только из шума, то и равенство (9.70) принимает вид

Квадратичный детектор, выделяющий огибающую.

Прежде чем идти дальше, вернемся несколько назад и рассмотрим задачу, лишь слегка отличающуюся от той, которой мы только что занимались. А именно, пусть теперь на выходе фильтра промежуточной частоты помещается не обычный квадратичный детектор, а квадратичный детектор, выделяющий огибающую. Иными словами, если воздействие на входе детектора может быть записано в виде узкополосного процесса со средней угловой частотой

то действие детектора будет заключаться в преобразовании этого воздействия в . Детектор, действующий таким образом, можно интерпретировать двумя способами: во-первых, можно считать, что он образует огибающую и затем возводит ее в квадрат; во-вторых, поскольку

можно считать, что в таком детекторе воздействие возводится в квадрат и затем высокочастотные составляющие полностью отфильтровываются (в том, конечно, предположении, что не содержат высокочастотных составляющих). Вводя вместо квадратичного детектора квадратичный детектор, выделяющий огибающую, мы, строго говоря, допускаем существование физически не осуществимого фильтра. Однако обычно, когда полоса видеочастот обрезается гораздо ниже промежуточной частоты, фильтрация практически осуществима и замена квадратичного детектирования квадратичным детектированием, выделяющим огибающую, лишь незначительно изменяет задачу.

Так как в настоящем параграфе мы предполагаем, что воздействие на входе детектора имеет узкий спектр, то мы можем также считать, что полоса пропускания фильтра промежуточной частоты и ширина полосы сигнала в усилителе промежуточной частоты малы по сравнению с Далее, поскольку на воздействие на выходе усилителя промежуточной частоты влияет только та часть спектра белого шума, которая совпадает с полосой пропускания полосового фильтра промежуточной частоты, мы можем

предположить, что шум на входе является не белым, а узкополосным, причем спектр его в некоторой окрестности постоянный. В этих предположениях действие усилителя промежуточной частоты, точно описываемое равенством (9.54), может быть приближенно описано с помощью эквивалентного фильтра низких частот. Такое приближение оказывается полезным здесь, а также при многих других обстоятельствах, когда узкополосные сигналы пропускаются через узкополосные фильтры.

Для того чтобы ввести такую узкополосную эквивалентную схему, мы запишем входной сигнал в форме синусоиды:

где обладают лишь частотными составляющими, лежащими в узкой (по сравнению с полосе около нулевой частоты. Шум на входе мы можем представить в виде

где — выборочные функции независимых стационарных гауссовских процессов, каждый из которых имеет постоянную спектральную плотность в узкой по сравнению с полосе частот около нулевой частоты и спектральную плотность, равную нулю, вне этой полосы. Можно проверить непосредственно, что процесс является стационарным и имеет спектральную плотность в узких полосах около частот . Вводя комплексные амплитуды

мы можем выразить сигнал и шум на входе в виде

Тогда выражение для воздействия на входе детектора (9.54) при нимает вид

Поскольку

мы имеем

Подставляя этот результат в (9.76), получаем, что

где

Таким образом, узкополосные функции в (9.72) могут быть представлены как соответственно действительная и мнимая части

Чтобы найти мы должны теперь использовать выражения для действительной и мнимой частей интеграла

Так как

и

Далее, — функция передачи узкополосного фильтра со средней частотой пропускания Если эта функция приблизительно

симметрична в полосе около и вносит пренебрежимо малые фазовые сдвиги, то при частотах, близких к два слагаемых в подинтегральном выражении (9.77б) почти взаимно уничтожаются. Поэтому в правой части равенства (9.76) мы можем пренебречь мнимой частью функции ибо, как мы только что видели, составляющие частот, близких к нулю, пренебрежимо малы, а высокочастотные составляющие (в окрестностях ) исчезают, если учесть, что имеют только низкочастотные составляющие.

Итак, вводя обозначения

мы можем приближенно записать выражение (9.76) в виде

Этот результат по форме совпадает с выражением (9.72), если положить

и

Заметим, что как так и по форме совпадают с сигналом на входе фильтра видеочастоты в случае детектирования квадратичным детектором. Поскольку фильтр видеочастоты линеен, отклик его может быть представлен в виде суммы двух откликов, как и в равенстве (9.67). Более того, поскольку — независимые процессы, также являются независимыми [процессами и слагаемые обусловленные не зависят

висят от слагаемых, обусловленных Из этих соображений следует, что в случае квадратичного детектирования, выделяющего огибающую, отклик фильтра видеочастоты равен

где — собственные значения интегрального уравнения

и где

— ортонормированные собственные функции того же интегрального уравнения. Согласно нашим предположениям относительно величины при всех являются гауссовскими случайными величинами, удовлетворяющими соотношениям

Так как величина определяемая соотношением (9.81), в точности совпадает с суммой двух независимых случайных величин, определяемых равенством (9.67), то характеристическую функцию

величины можно найти сразу из (9.70):

Если воздействие на систему состоит только из шума, то последнее выражение принимает вид

Распределения отклика.

Итак, мы получили выражения для характеристической функции случайной величины на выходе системы для детекторов обоих типов. Получить в удобной для применений форме преобразования Фурье от этих выражений, т. е. плотности распределений вероятностей отклика системы, затруднительно. Одно из этих преобразований Фурье — от выражения (9.87) — может быть проинтегрировано путем вычисления вычетов, если все собственные значения простые, т. е. имеют кратность 1. Мы имеем

Пусть, как мы предполагали ранее, , т. е. выходное напряжение неотрицательно; тогда все положительны, все полюсы подинтегрального выражения в (9.88) расположены в нижней полуплоскости плоскости в точках и интеграл (9.88) можно вычислить, замкнув контур в нижней полуплоскости. При этом оказывается равной умноженной на сумме вычетов в полюсах, которые нетрудно вычислить, если все собственные значения различны. Таким образом,

Обычно имеется бесконечное количество собственных значений и соответственно бесконечное число полюсов, так что приведенный расчет остается чисто формальным.

Эмерсон для ряда примеров приближенно вычислил распределение

вероятностей на выходе, используя характеристическую функцию, заданную в форме (9.70). Его метод состоит в том, что разлагается в степенной ряд и затем с помощью коэффициентов ряда получается асимптотическое разложение для плотности распределения. Мы отсылаем читателя к этой статье для ознакомления с подробностями расчета, а также в связи с вопросами математического обоснования.

Фиг. 9.9. Плотность распределения вероятностей Некоторые из результатов нормированного отклика фильтра видеочастоты на воздействие в форме суммы синусоидального сигнала и белого гауссовского шума при отношении сигнал шум на входе детектора, равном единице [фиг. 4 из работы Эмерсона (I)].

Эмерсона, относящиеся к случаю, когда на вход системы подается сумма полезного сигнала и белого гауссовского шума, т. е. к тому случаю, когда

изображены на фиг. 9.9. Расчеты Эмерсона выполнены в предположении, что функции передачи фильтров как промежуточно частоты, так и видеочастоты являются гауссовскими. При этом отклики на импульсное воздействие также оказываются гауссовскими и имеют вид

и

где — параметры, определяющие ширину полосы пропускания, а — средняя частота полосы пропускания фильтра промежуточной частоты. Параметр у на фиг. 9.9 представляет собой отношение полос пропускания поэтому большие значения у соответствуют широкополосному фильтру промежуточной частоты и узкополосному фильтру видеочастоты. При этих расчетах пренебрегалось наличием высокочастотных составляющих на выходе детектора для всех кривых, кроме кривой Таким образом, кривая относится к квадратичному детектору, выделяющему огибающую без дополнительной фильтрации, а кривая к квадратичному детектору без фильтра видеочастоты.

Решение этой задачи для одноконтурного фильтра промежуточной частоты и простого фильтра низких видеочастот, а также рассмотрение предельных случаев читатель может найти в работе Каца и Зигерта. В этой работе показано, что в последнем случае плотность вероятностей на выходе стремится к гауссовской.

Пример 9.5.1. В качестве конкретного примера применения изложенной выше теории рассмотрим следующий. Белый гауссовский шум пропускается сначала через одноконтурную резонансную цепь с полосой пропускания малой относительной ширины, а затем через квадратичный детектор, выделяющий огибающую; после детектора происходит интегрирование. Каково распределение вероятностей на выходе интегратора через время 77

Прежде всего покажем, что интегральное уравнение (9.82) можно преобразовать так, чтобы в него входили не а непосредственно корреляционные функции [см. равенство (9.72)]. Это можно сделать всегда, когда воздействием на входе является только шум. В самом деле, если мы положим

то уравнение (9,82) примет вид

Умножая на и интегрируя по и, получаем

Выражение в квадратных скобках представляет собой корреляционные функции (которые равны друг другу) для случая, когда на вход фильтра промежуточной частоты подается белый шум. Поэтому мы можем

написать

Собственные функции уравнений (9 93) и (9.82) связаны между собой равенством (9.91); собственные значения обоих уравнений одинаковы.

Возвращаясь к нашему конкретному примеру, мы можем считать, что отклик одноконтурного фильтра промежуточной частоты приблизительно совпадает с откликом сдвинутого по частоте -фильтра. Поэтому мы имеем приближенно

Весовая функция второго фильтра определяется равенством

Следовательно, уравнение (9.93) принимает вид Т

Собственные значения этого уравнения могут быть получены из результатов примера 6.4.1 путем замены переменных в рассматриваемом там интегральном уравнении. Они равны

где решение уравнения

или

Эти значения будучи подставлены в (9.87) и (9.89), дают характеристические функции и плотность распределения вероятностей на выходе интегратора. Из равенства (9.91) следует, что