12.3. Квадратичный детектор; сигнал плюс шум на входе

Рассмотрим теперь случай, когда на вход двухполупериодного детектора подается сумма сигнала и шума :

где — выборочные функции статистически независимых вероятностных процессов с равными нулю математическими ожиданиями.

Поскольку отклик квадрирующего устройства равен

и процессы на входе независимы, математическое ожидание отклика равно

а если процессы на входе стационарны, то

где для всех . Среднеквадратичное значение отклика квадрирующего устройства равно в общем случае

если сигнал и шум на входе стационарны, то последнее выражение приводится к виду

Корреляционная функция отклика квадрирующего устройства равна

Следовательно,

Если вероятностные процессы на входе стационарны, то, полагая получаем

где — корреляционные функции соответственно сигнала и шума и где

Таким образом, корреляционная функция отклика квадрирующего устройства содержит слагаемые трех типов:

где слагаемое

обусловлено взаимодействием сигнала с самим собой, слагаемое

обусловлено взаимодействием шума с самим собой, а слагаемое

обусловлено взаимодействием сигнала и шума. Нетрудно видеть, что только слагаемое типа (которое имелось бы в отсутствие шума) относится к полезному выходному сигналу; слагаемые типов связаны с шумом на выходе.

Спектральную плотность отклика квадрирующего устройства можно найти, вычислив преобразование Фурье от Мы получим

где

и

причем - спектральные плотности соответственно сигнала и шума на входе детектора. Наличие слагаемого типа показывает, что в присутствии сигнала на входе шум на выходе возрастает. Хотя сейчас этот результат мы получили применительно к двухполупериодному квадратичному детектору, ниже мы увидим, что аналогичный результат имеет место для всякого нелинейного устройства.

Синусоидальный сигнал плюс гауссовский шум на входе.

В предыдущем разделе мы установили различные статистические свойства отклика двухполупериодиого квадратичного детектора при подаче на вход его полезного сигнала и шума произвольной природы. Предположим теперь, что шум на входе является

выборочной функцией стационарного действительного гауссовского вероятностного процесса с равным нулю средним значением, а полезный сигнал на входе синусоидален:

где Р — постоянная, а — случайная величина, распределенная равномерно в интервале и не зависящая от процесса, задающего шум.

Поскольку входной шум — гауссовский, из (12.246) следует, что слагаемое типа в выражении для корреляционной функции на выходе двухполупериодного квадрирующего устройства имеет вид

Тогда, согласно (12.25), соответствующая спектральная плотность равна

Для определения других слагаемых корреляционной функции на выходе квадрирующего устройства нужно получить некоторые свойства сигнала и шума на входе. Во-первых, корреляционная функция входного сигнала равна

Поэтому мы можем написать

где . Тогда, согласно равенству спектральная плотность входного сигнала имеет вид

где . Согласно равенствам (12.42 в) и (12.48), имеем

Соответствующая спектральная плотность, как то вытекает из (12.44в) и (12.49), равна

Далее, корреляционная функция квадрата входного сигнала равна

Следовательно, слагаемое типа в выражении для корреляционной функции на выходе квадрирующего устройства имеет вид

где Соответствующая спектральная плотность равна

Подытоживая сказанное, получаем, что корреляционная функция отклика двухполупериодного квадрирующего устройства при подаче на вход его суммы синусоидального сигнала и гауссовского шума с нулевым средним значением, согласно равенствам (12.46), (12.50) и (12.52), имеет вид

а спектральная плотность отклика, согласно (12.47), (12.51) и (12.53), равна

Первое слагаемое в (12.54) есть просто математическое ожидание отклика квадрирующего устройства:

Среднеквадратичное значение отклика можно найти, вычислив значение корреляционной функции при

Следовательно, дисперсия отклика квадрирующего устройства равна

Для того чтобы лучше почувствовать полученные аналитические результаты, обратимся снова к случаю, когда шум на входе обладает спектральной плотностью какой-либо простой формы.

Фиг. 12.5. Спектральные плотности для двухполу-периодного квадрирующего устройства при подаче на вход его суммы синусоидального сигнала и гауссовского шума

Пусть, как и в § 12.2, спектральная плотность шума на входе постоянна и равна А в узкой полосе частот ширины В со средней частотой , причем . Тогда полная спектральная плотность воздействия равна, как это изображено на фиг. 12.5, а,

Рассмотрим теперь отдельные слагаемые, составляющие спектральную плотность отклика. Выше мы видели, что слагаемые на выходе квадрирующего устройства, обусловленные взаимодействием входного шума с самим собой (слагаемые типа совпадают с полной спектральной плотностью, имеющей место при подаче на вход только шума. Таким образом, согласно (12.29) и (12.32),

График этой спектральной плотности приведен на фиг. 12.4, б Равенство (12.53) показывает, что слагаемые в выражении для спектральной плотности отклика, обусловленные взаимодействием полезного сигнала с самим собой (слагаемые типа состоят из трех импульсов, из которых один расположен на нулевой частоте, а два других — на частотах Эти слагаемые изображены на фиг. 12.5, б.

Наконец, слагаемые в выражении для спектральной плотности, обусловленные взаимодействием полезного сигнала и шума (слагаемые типа согласно (12.51), состоят из импульса на нулевой частоте и пары слагаемых, получаемых переносом спектральной плотности входного шума на частоты Таким образом,

Соответствующий график изображен на фиг 12.5, в. Полная спектральная плотность отклика находится как сумма слагаемых типов график ее приведен на фиг. 12.5, г.

Как и в § 12.2, мы можем получить двухполупериодный квадратичный детектор, включив после двухполупериодного квадрирующего устройства идеальный фильтр низких частот. Тогда спектральная плотность отклика квадратичного детектора будет суммой тех слагаемых из равенств (12.53), (12.60) и (12.61), которые соответствуют частотам, лежащим в окрестности нулевой

частоты. Таким образом,

Второе слагаемое в этом выражении обусловлено взаимодействием между входным сигналом и шумом; третье есть результат взаимодействия шума с самим собой. Сопоставить эти два слагаемых по важности можно, сравнив полные площади под их графиками, т. е. соответственно . Согласно (12.62),

Отношение мощностей сигнала и шума на входе (т. е. отношение дисперсий входного сигнала и шума) равно

Следовательно,

Итак, при увеличении отношения мощностей сигнала и шума на входе шум на выходе все в большей и большей мере обусловливается взаимодействием полезного сигнала и шума и все в меньшей и меньшей мере — взаимодействием шума с самим собой.

Модулированный синусоидальный сигнал плюс гауссовский шум на входе.

В предыдущем разделе мы предполагали, что сигнал на входе детектора является чисто синусоидальным. Рассмотрим теперь синусоидальный сигнал, модулированный случайным образом по амплитуде:

где равномерно распределено в интервале — выборочная функция стационарного действительного вероятностного процесса, не зависящего от случайной величины 0 и от шума на входе детектора. (Последующий анализ применим также в случае, если — периодическая функция, не содержащая частот, соизмеримых с

Будем, как и прежде, предполагать, что входной шум является выборочной функцией стационарного действительного гауссовского процесса с нулевым математическим ожиданием. Таким образом, слагаемые корреляционной функции типа на выходе квадрирующего устройства и соответствующие им спектральные плотности определяются, как и прежде, соответственно равенствами (12.46) и (12.47).

Корреляционная функция входного сигнала равна

где — корреляционная функция модулирующего процесса. Спектральная плотность входного сигнала тогда равна

где — спектральная плотность модулирующего процесса. Таким образом, согласно (12.42 в) и (12.67), составляющая корреляционной функции типа на выходе квадрирующего устройства имеет вид

Соответствующая ей спектральная плотность равна

Интеграл, входящий в это равенство, может быть вычислен как полусумма значений преобразования Фурье от произведения в точках Поскольку преобразование Фурье от равно свертке соответствующих спектральных плотностей, мы получаем

Составляющая корреляционной функции типа на выход

квадрирующего устройства имеет вид

где — корреляционная функция квадрата модулирующего процесса. Таким образом, составляющая спектральной плотности типа на выходе квадрирующего устройства равна

где — спектральная плотность квадрата модулирующего процесса.

Сравним теперь полученные результаты с теми, которые мы получили выше для случая немодулированного синусоидального сигнала. Заметим прежде всего, что слагаемые спектральных плотностей типа на выходе в обоих случаях одинаковы. Далее, сравнивая равенства (12.51) и (12.70), мы видим, что импульсная часть составляющей типа в выражении для спектральной плотности на выходе в случае немодулированного сигнала при модулированном сигнале свертывается со спектральной плотностью Наконец, сравнение равенств (12.53) и (12.72) показывает, что импульсы, имевшиеся при отсутствии модуляции, при наличии ее заменяются слагаемыми, содержащими спектральные плотности Таким образом, в целом наличие модуляции входного сигнала приводит к тому, что составляющие типов в выражении для спектральной плотности отклика размазываются по частоте.

Отношения сигнал/шум.

В заключение нашего анализа двухполупериодного квадратичного детектора рассмотрим связь между отношениями сигнал/шум для мощности на входе и на выходе детектора.

Из найденного нами выражения для составляющей типа корреляционной функции на выходе квадрирующего устройства (равенство (12.71)] мы видим, что мощность сигнала на выходе детектора равна

Мы можем выразить через мощность сигнала на входе детектора

следующим образом:

где

является функцией, зависящей от распределения вероятностей модулирующего сигнала. Поскольку остается постоянной при изменении например при замене на равенство (12.75) показывает, что мощность выходного сигнала пропорциональна квадрату мощности входного сигнала, что вряд ли может показаться неожиданным.

Мощность шума на выходе детектора, согласно (12.46) и (12.69), равна

где множители 1/2 обусловлены тем, что половина мощности шума на выходе квадрирующего устройства сосредоточена на частотах, близких к нулевой, а другая половина — на частотах, близких к удвоенной несущей частоте. Этот результат может быть выражен через мощности сигнала 5; и шума на входе:

что совпадает с результатом, полученным в случае немодулированного сигнала [равенство (12.65)].

Таким образом, отношение мощностей сигнала и шума на выходе равно

(см. фиг. 12.6). Если отношение сигнал/шум на входе велико, то приближенно

При малом отношении сигнал/шум на входе имеем приближенно

Итак, при больших отношениях сигнал/шум на входе отношение сигнал/шум на выходе изменяется пропорционально отношению на входе, а при малых отношениях на входе — пропорционально его квадрату. Этот результат показывает, что детектору свойствено эффект подавления слабых сигналов.

Фиг. 12.6 Зависимость отношения сигнал/шум по мощности на выходе двухполупериодного квадратичного детектора от отношения сигнал/шум на входе

Мы доказали это сейчас лишь для двухполупериодного квадратичного детектора; в гл. 13 мы покажем, что это общее свойство всех детекторов.