2.4. Условные вероятности

В предыдущем параграфе мы ввели совместные вероятности, относящиеся к результатам составных экспериментов, и выяснили соотношение между совместными вероятностями составных событий и вероятностями элементарных событий. Наряду с этим представляет интерес ответ на следующий вопрос: «Какова вероятность наступления события (А), если известно, что произошло событие Вероятности этого типа — «условные вероятности» — мы будем изучать в настоящем параграфе.

Рассмотрим составной эксперимент, состоящий из двух основных экспериментов, у одного из которых основными исходами являются элементарные события а у другого — элементарные события Предположим, что составной эксперимент повторяется N раз и что при этом элементарное событие наступает раз, элементарное событие раз и составное событие раз.

Сосредоточим сейчас наше внимание на тех экспериментах, при которых произошло событие При каждом из этих экспериментов произошло также одно из событий в частности, некоторое определенное событие произошло при этих экспериментах раз. Таким образом, относительная частота наступления события в предположении, что при этом также наступает событие равняется Эта относительная частота называется условной относительной частотой, так как она относится к некоторому заданному условию или заданной гипотезе. Условную относительную частоту можно выразить в виде

и, следовательно, она равна отношению относительной частоты наступления совместного события к относительной частоте наступления события являющегося предположенным условием. Имея в виду сказанное выше, мы можем теперь определить условную вероятность.

Определение. Условная вероятность появления события (В) в предположении, что произошло событие (А), есть отношение вероятности появления составного события к вероятности появления события (А):

Условная вероятность не определена, если Р (А) равна нулю. Переписывая выражение (2.11) в форме

мы видим, что совместную вероятность двух событий можно представить в виде произведения условной вероятности одного события относительно другого на вероятность этого другого события.

Определенная нами условная вероятность обладает по существу теми же свойствами, что и различные вероятности, введенные ранее. В качестве примера рассмотрим составной эксперимент, приводящий к составным событиям в котором основные исходы взаимно исключают друг друга. Согласно приведенному выше определению, условная вероятность события или и предположении, что произошло событие есть

Учитывая рассмотренные выше свойства совместных вероятностей взаимно исключающих друг друга событий, получаем

Правая часть последнего равенства есть просто сумма вероятностей и, следовательно,

т. е. условные вероятности попарно несовместимых событий являются аддитивными.

Более того, если события образуют совокупность попарно несовместимых событий, то мы получаем

и если эти М событий в совокупности образуют достоверное событие, то, как следует из равенства (2.9 а), числитель в средней части предыдущего равенства есть просто следовательно, в этом случае

Из неравенства (2.10) и определения (2.11) вытекает, что условные вероятности также заключены между нулем и единицей:

далее, так как вероятность Р (А) заключена между нулем и единицей, то условная вероятность не меньше соответствующей совместной вероятности: