9.3. Корреляционная функция и спектр отклика

Пусть воздействие, подаваемое на вход устойчивой линейной системы с фиксированными параметрами, является выборочной функцией заданного вероятностного процесса, а — соответствующая выборочная функция вероятностного процесса на выходе системы. Корреляционная функция выходного процесса, по определению, равна

Поскольку система устойчива, можно выразить с помощью свертки (9.30) через Таким образом, мы можем написать выражение

которое после перемены порядка осреднения и интегрирования

принимает вид

или

Итак, корреляционная функция отклика устойчивой линейной системы равна двукратной свертке корреляционной функции воздействия с откликом системы на единичный импульс.

Если вероятностный процесс на входе системы стационарен в широком смысле, то

где . В этом случае корреляционная функция отклика принимает вид

Моменты времени входят в (9.35) только в виде их разности т. Этот результат вместе с равенством (9.33) показывает, что если вероятностный процесс на входе системы стационарен в широком смысле, то таков же и вероятностный процесс на ее выходе.

Спектральная плотность отклика определяется равенством

где . Следовательно, согласно (9.35),

Вводя новую переменную , получаем

Входящие сюда интегралы можно выразить через функцию передачи системы и спектральную плотность воздействия. Таким образом,

Итак, спектральная плотность отклика устойчивой линейной системы на стационарный в широком смысле вероятностный процесс равна произведению квадрата модуля функции передачи системы на спектральную плотность воздействия.

Системы со многими входами.

Рассмотрим теперь устойчивую линейную систему с фиксированными параметрами, имеющую N входов, на которые подаются воздействия и один выход, отклик на котором есть . В § 9.1 мы показали, что, в силу линейности, такая система подчиняется принципу суперпозиции и отклик ее может быть выражен в виде

где совпадает с при равенстве нулю всех воздействий, кроме . Мы там показали также, что можно определить функцию передачи и отклики на импульсное воздействие связывающие Из определения следует, что можно выразить через с помощью свертки

Таким образом, полный отклик системы может быть выражен через воздействия на все ее входы с помощью равенства

Если воздействия, подаваемые на различные входы системы, являются выборочными функциями вероятностных процессов, то корреляционную функцию отклика системы можно найти тем же путем, что и в рассмотренном выше случае одного входа и одного выхода. Таким образом, мы получаем

где — взаимная корреляционная функция процессов на входах:

Если процессы, подаваемые на различные входы, не коррелированы между собой и имеют равные нулю математические ожидания, то

где корреляционная функция процесса, подаваемого на вход. Корреляционная функция отклика системы в этом случае имеет вид

Если вероятностные процессы, подаваемые на все входы, стационарны в широком смысле, то

Положим тогда корреляционная функция отклика системы принимает вид

если процессы на различных входах коррелированы между собой, и

если они не коррелированы и имеют равные нулю математические ожидания. Соответствующие спектральные плотности отклика можно найти, вычислив преобразования Фурье от полученных нами выражений. Так, если — взаимная спектральная плотность воздействий на входах, то при наличии корреляции между воздействиями на различных входах

а при отсутствии корреляции и равных нулю математических ожиданиях воздействий

(где — спектральная плотность воздействия на n-ом входе).

Особый интерес представляет тот частный случай, когда рассматривается устойчивая линейная система с фиксированными параметрами, представляющая собой -полюсник, изображенный на фиг. 9.3. В § 9.1 мы показали, что функцию передачи такого многополюсника можно выразить через различные переходные проводимости короткого замыкания при помощи

соотношений

Подставляя эти соотношения в (9.41) и (9.42), получаем, что в случае коррелированных воздействий

а в случае некоррелированных воздействий с нулевыми математическими ожиданиями