Глава 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЫХОДНОГО СИГНАЛА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В соответствии с приведенными в предыдущей главе положениями теории статистических решений под оптимальным оценивающим устройством понимается устройство, которое на основании принятой реализации и априорной информации вырабатывает оценку неизвестных параметров сигнала, оптимальную в смысле некоторого заранее выбранного критерия. Очевидно, возможно множество различных оптимальных устройств для оценки одного и того же параметра сигнала. Однако согласно и (1.4.12) независимо от вида функции потерь для нахождения оптимальной байесовской оценки это устройство перед осуществлением операции оценки должно выработать апостериорную плотность вероятности оцениваемого параметра

Основным членом, определяющим зависимость апостериорного распределения от принятой реализации является функционал отношения правдоподобия Поэтому одной из операций, выполняемых любым оптимальным оценивающим устройством, является формирование функционала отношения правдоподобия. При этом часто оказывается более удобным как с точки зрения теоретического анализа, так и в целях упрощения технической реализации вырабатывать не сам функционал отношения правдоподобия, а некоторую монотонную функцию от него, например логарифм функционала отношения правдоподобия.

Традиционно часть оптимального оценивающего устройства, которая явно зависит только от наблюдаемой реализации называют оптимальным приемником, хотя точнее этот приемник надо было бы назвать достаточным приемником, так как согласно рассмотренному в § 1,2 выходным сигналом подобного приемника будет достаточная статистика. В более общем случае достаточным приемником можно назвать любое приемное устройство, вырабатывающее достаточную статистику в удобной для последующего использования форме. Однако в дальнейшем будем придерживаться общепринятой терминологии, т. е. оптимальным приемником будем называть приемное устройство, которое выполняет существенную операцию над наблюдаемой реализацией

В этой главе рассмотрим структуру и основные свойства оптимального приемника при приеме трех классов полезных сигналов

(известных, с неизвестными сопровождающими параметрами и флуктуирующих).

Известными сигналами будем называть сигналы точно известной формы, все параметры которых, за исключением оцениваемых, известны.

Сигналами с неизвестными сопровождающими параметрами будем называть сигналы точно известной формы, содержащие кроме оцениваемых параметров неизвестные сопровождающие параметры. Неизвестные сопровождающие параметры, так же как и оцениваемые, предполагаются постоянными в течение времени наблюдения.

Флуктуирующими сигналами будем называть сигналы, которые в течение времени приема изменяются случайным образом или содержат сопровождающие параметры, также случайно изменяющиеся в течение времени приема. Примером такого сигнала может служить реализация случайного процесса, статистические характеристики которого зависят от оцениваемого параметра, или сигнал на выходе канала со случайными параметрами.

Из практически возможных комбинаций сигнала и помех наибольший интерес представляет аддитивная смесь полезного сигнала и помехи

где истинные значения неизвестных параметров сигнала, время наблюдения смеси сигнала и помехи. Возможное наличие неаддитивпых помех учитывается введением несущественных параметров сигнала Будем полагать, что помеха представляет собой реализацию нормального случайного процесса, в общем случае нестационарного, с нулевым средним значением и функцией корреляции

Наиболее полное и детальное описание случайного процесса дается многомерными плотностями вероятности. Плотность вероятности называемая -мерной, определяет вероятность того, что значения случайной функции моментах времени заключены соответственно в интервалы При достаточно малых эта вероятность равна Многомерная плотность вероятности позволяет судить о связи между вероятными значениями случайной функции в произвольных моментах времени.

Запишем общее выражение для -мерной плотности вероятности нормального случайного процесса. Пусть отсчеты при дискретном наблюдении случайного процесса берутся в равноотстоящие моменты времени на интервале так, что При этом число выборок равно целой части дроби т. е. Тогда -мерная плотность вероятности нормального случайного процесса, представляющего помеху в (2.1.1), определяется выражением

Здесь определитель корреляционной матрицы размером с элементами элементы матрицы, обратной корреляционной матрице

Нормальные или гауссовы случайные процессы наиболее часто встречаются на практике и поэтому занимают особое положение среди других случайных процессов. Большинство случайных электрических процессов, таких как тепловой шум, космические шумы и другие, представляют собой результирующий эффект большого числа сравнительно слабых элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты времени. Так как обычно влияние каждого отдельного слагаемого на результирующий эффект приблизительно одинаково, то вследствие центральной предельной теоремы подобные процессы нормальны. Нормальные случайные процессы обладают многими замечательными свойствами с математической точки зрения. В силу этих и ряда других причин нормальные процессы являются удовлетворительной аппроксимацией реальных помех и имеют доминирующее значение в теории связи.