8.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК АМПЛИТУДЫ ДЛИТЕЛЬНОСТИ, НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫ И ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим конкретные примеры применения полученных в этой главе общих соотношений для вычисления характеристик оценок при неполной априорной информации о сигнале

1. Оценка амплитуды радиосигнала Пусть полезный нал с неизвестной ампли тудой определяется формулой (4 9 28), где неизвестная начальная фаза При этом нормированная сигнальная функция будет равна

Подставляя соответствующие значения производных от сигнальной функции в (8 1 18) и (8 1 19), получаем условные смещение и дисперсию оценки амплитуды

Поскольку амплитуда сигнала входит в принимаемые данные линейно, то при приема радиосигнала с неизвестной начальной фазой можно получить выражение для оценка амплитуды в явном виде Действительно, подставляя (4.9.28) в имеем

где отношение сигнал/помеха для сигнала с единичной амплитудой, а бающая сигнала на выходе оптимального приемника, которую для рассматриваемого случая можно получить, положив в (2.5.14)

Решая уравнение находим оценку

Нетрудно убедиться, что случайная величина (при фиксированном подчиняется обобщенному релеевскому распределению Соответственно первые два момента оценки амплитуды определяются формулами [18]

Отсюда нетрудно найти точные выражения для смещения и дисперсии оценки амплитуды. При этом если отношение сигнал/помеха велико то, используя асимптотические разложения для функций при получаем

В результате приходим к выражениям для смещения и дисперсии оценки, которые во вторых приближениях совпадают с (8.5 2) и (8.5 3).

Если начальная фаза радиосигнала случайна и распределена равномерно в интервале оценка максимального правдоподобия амплитуды согласно п. 6 § 4.9 оказывается несмещенной и во втором приближении, но обладает большей дисперсией по сравнению с оценкой (8.5.4). Однако эти отличия имеют место только во втором приближении, а в первом приближении характеристики оценки максимального правдоподобия и оценки (8.5 4) совпадают. Следует отметить, что оценка амплитуды при неизвестной начальной фазе реализуется проще оптимальной оценки амплитуды для случайной равномерно распределенной начальной фазы, которая с учетом (4 3.1) определяется из решения трансцендентного уравнения правдоподобия

2. Оценка длительности колокольного радиоимпульса. Найдем смещение и дисперсию оценки длительности радиосигнала

при приеме на фоне белого шума с односторонней спектральной плотностью Если единственным неизвестным сопровождающим параметром радиосигнала является начальная фаза, то, используя выражение для сигнальной функции из (8.1.18) и (8.1.19) получаем, что дисперсия оценки длительности совпадает с дисперсией оптимальной оценки (4 9.33), а смещение оценки увеличивается в два раза по сравнению со смещением оптимальной оценкн (4.9.32). Увеличение смещения оценки обусловлено заменой в оптимальном приемном устройстве преобразователя огибающей с характеристикой линейной зависимостью

Если неизвестны амплитуда и фаза сигнала, то, подставляя сигнальную функцию (4.9.31) в (3.1.25) и , получаем выражения для смещения и дисперсии оценки

Как и следовало ожидать, незнание величины амплитуды полезного сигнала приводит заметному увеличению дисперсии оценки длительности даже в первом приближении. Действительно, при

В то же время незнание начальной фазы радиосигнала в первом приближении не влияет на качество оценки длительности радиосигнала.

3. Оценка начальной фазы радиосигнала с неизвестной огибающей. Запишем принимаемый сигнал в виде

и вычислим дисперсию оценки начальной фазы полагая, что неизвестная огибающая четная функция времени. Так как при оценке начальной фазы

формула (8 4 11) принимает вид

Здесь ношение сигнал помеха для принятого сигнала, длительность сигнала (заранее неизвестна), которая в общем случае может быть больше или меньше времени приема

Пусть принимаемый сигнал имеет огибающую треугольной формы

причем априори известно, что огибающая является четной функцией времени Если для представления неизвестной огибающей в виде (В 4 4) воспользоваться разложением Фурье по косинусам, то

а функция к, входящая в (8 5 9), равна

Здесь ощошепие длительности сигнала к величине интервала наблюде Охарактеризовать качество оценки можно эффективностью где дисперсия эффективной оценки начальной фазы, совпадающая с первым приближением дисперсии оценки максимального правдоподобия (3.5.3) Согласно (8.5.9) для эффективности оценки начальной фазы радиосигнала с неизвестной огибающей имеем

При оценке начальной фазы радиосигнала с известной огибающей длительность интервала наблюдения не влияет на величину дисперсии оценки, если только вы брано больше длительности сигнала

Если огибающая сигнала, а следовательно, и длительность неизвестны, то шепер сия оценки начальной фазы зависит от величины интервала наблюдения Т Поэтому определенный интерес представляет рассмотрение зависимости эффек тивыости оценки от отношения что позволяет определить необходимое время наблюдения для возможных значений длительности сигнала Зависимости эффективности оценки от для различных значений приведены на рис Сплошными линиями нанесены зависимости для отношения сигнал/помеха штриховыми — для

Как видно этих зависимостей, для больших эффективность оценки начальной фазы при неизвестной огибающей близка к единице в довольно широких пределах. Для уменьшение эффективности оценки объясняется в значительной степени отличием формы огибающей принимаемого сигнала от формы огибающей опорного сигнала, и это отличие уменьшается с росюм числа каналов. уменьшение эффективности в основном обусловлено тем, что часть сигнала находится вне интервала наблюдения и энергия сигнала используется не полностью. этом случае увеличение числа каналов может вызвать лишь незначительное увеличение эффективности. Действительно, для при увеличении числа каналов от 3 до 6 эффективность в области практически остается неизменной.

Рис. 8.5.1, Зависимость эффективности оценки начальной фазы (треугольная огибающая) от

Из рассмотрения кривых также следует, что, хотя увеличение числа каналов приводит к расширению области значений в которой эффективность высока, три не очень больших отношениях сипнал/помеха может оказаться более целесообразным использование небольшою числа каналов. Последнее ведет к упрощению структуры приемного устройства. Например, для и 3 при эффективность оказывается больше, чем при С другой стороны, при эффективность оценки начальной фазы практически равна единице для импульса, длительность которого изменяется от до т. е. в раз. Если в этом случае использовать только три канала, то эффективность достаточно высока лишь при при изменении длительности импульса в 3 раза.

Как следует из приведенных рассуждений, для каждого значения должно существовать оптимальное число каналов, которое обеспечивает наименьшую дисперсию оценки. Действительно, в общем случае с увеличением доля энергии сигнала, которая попадает в капал уменьшается, в то время как мощность помехи во всех каналах одинакова. Поэтому использование слишком большого числа каналов может привести к увеличению дисперсии оценки.

Значения эффективности оценки начальной фазы радиосигнала с неизвестной огибающей для различного числа каналов при приведены на рис. 8.5.2. Сплошными линиями соединены значения эффективности для штриховыми — для При оптимальное число каналов а при . С увеличением оптимальное число каналов уменьшается и при При не слишком больших отношениях сигнал/помеха зависимость имеет четко выраженный максимум, который с ростом отношения сигнал/помеха становится менее ярко выраженным, хотя при эффективность оценки убивает довольно быстро с уменьшением числа каналов. В общем случае следует ожидать, что с уменьшением оптимальное число каналов будет увеличиваться так же, как с увеличением отношения сигнал/помеха, хотя зависимость от более слабая, чем от

Если радиосигнал (8 5.8) имеет огибающую прямоугольной формы, т. е.

то, используя представление неизвестной огибающей в виде разложения Фурье по косинусам для функции получаем

Зависимости эффективности оценки начальной фазы от при различных значениях приведены на рис в 5 3 для сигнала, априори неизвестная огибающая которого определяется формулой (3 5.12). Сплошные линии представляют зависимость для штриховые — для

4. Вычислим дисперсию оценки временного положения То колокольного частотно-модулированного радиоимпульса с неизвестной начальной фазой (4 9 17). Полагаем, что форма огибающей априори неизвестна, сигнал полностью расположен внутри интервала наблюдения, а число каналов приемного устройства и отношение сигиал/помеха настолько велики, что справедливо выражение (8.4.26)

Рис. 8.5.2. Зависимости эффективности оценки начальной фазы от числа каналов.

Рис. 8.5.3. Зависимости эффективности оценки начальной фазы (прямоугольная огибающая) от q.

Для величин, входящих, в (3.4.26), получаем

Подставляя эти выражения в (3 4 26) и заменяя пределы интегрирования на бесконечные, будем иметь

где — коэффициент укорочения радиоимпульса, определяемый согласно (4 9 20). Так как данная задача имеет смысл толыко при то

Дисперсия оценки максимального правдоподобия временного положения радиоимпульса с известной огибающеи, в первом приближении совпадающая с дисперсией эффективной оценки, определяется формулой (4 9.19). Следовательно, эффективность оценки временного положения ЧМ радиоимпульса с неизвестными огибающей и начальной фазой равна

Поскольку при то незнание формы огибающей при больших значениях коэффициента укорочения практически не влияет на качество оценки временного положения частотно-модулированного радиоимпульса с неизвестной начальной фазой.