Глава 8. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ НЕПОЛНОЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ О СИГНАЛЕ

8.1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА С НЬИЗВЕСШЫМИ АМПЛИТУДОЙ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

В соответствии с общими положениями теории статистических решений для получения байесовской оценки (при заданной функции потерь) необходимо знать апостериорную плотность вероятности оцеииваемото параметра Когда полезный сигнал и (или) статистические характеристики помехи зависит некоторые неизвестных сопровождающих параметров в оценке которых нет необходимости, апостериорная плотность вероятности в соответствии с (1.1.11) и (1.1.12) определяется выражением

Здесь, как и выше, функционал отношения правдоподобия всех неизвестных параметров, априорная плотность вероятности оцениваемого параметра, априорная плотность вероятности сопровождающих параметров

Если параметры независимы, а априорные плотности вероятности известны, то задача получения байесовской оценки в принципе решена, хотя найти соответствующее решение в аналитическом виде иногда и невозможно Существенные методологические трудности возникают в теории решений, когда плотности вероятности неизвестны Одним из способов преодоления априорной трудности является использование минимаксного подхода (§ 14), Однако достаточно проешх методов получения минимаксных решений нет. Кроме этого, часто минимаксные решения оказываются слишком «осторожными» и могут быть улучшены Другой подход основан на использовании асимптотических свойств байесовских оценок Действительно, при весьма слабых ограничениях на вид сигнала и помехи при малых ошибках оценивания байесовские оценки асимптотически совпадают с оценками максимального правдоподобия Это обстоятельство дает возможность в качестве оценки неизвестного параметра I использовать значение полученное максимизацией функционала отношения правдоподобия по всем неизвестным параметрам (оцениваемым

н сопровождающим). Другими словами, оценка параметра I ищется из условия

т. е. находятся совместные оценки максимального правдоподобия всех неизвестных параметров а затем используется лишь оценка Естественно, вместо функционалов отношения правдоподобия можно рассматривать выходной сигнал приемника, пропорциональный функционалу отношения правдоподобия или его логарифму.

В соответствии с выражением (8.1.2) возможвы два путн решевня задачи оценки параметра I при неизвестных значениях других параметров сигнала.

Первый путь состоит в формировании приемником функционала отношения правдоподобия получении совместных оценок максимального правдоподобия всех неизвестных параметров и использовании в дальнейшем лишь оцевкн параметра

Второй путь основан на формировании при емником функционала от ношения правдоподобия при котором неизвестные сопровождающне параметры берутся такими, чтобы выходной сигнал, пропорциональный был максимален. Оценка параметра I при этом находится по положению максимума макснморума выходного сигнала приемника.

В дальнейшем в основном будем рассматривать второй путь решения задачи, поскольку реализация этого метода, как правило, значительно проще первого.

Итак, пусть оценка неизвестного параметра I сигнала находится по положению абсолютного максимума выходного сигнала приемника определяемого как

В силу монотонности логарифмической функции можно записать

При использовании первого пути решения, непосредственно следующего из алгоритма (8.1.2), оценка параметра I определяется из решения системы уравнений правдоподобия

причем выбирается решение, обеспечивающее абсолютный максимум для где число неизвестных сопровождающих параметров Соответственно при использовании второго пути, т. е. при определении оценки параметра I по абсолютному максимуму функции (8.1.3), величина находится из решения уравнения

Покажем, что обе оценки параметра I совпадают. Выражение (8.1.3) можем переписать как

где решения системы уравнений

при произвольных значениях Решение этой системы уравнений представляет собой решение системы из последних уравнений в (8.1.5), если в них вместо взять произвольное значение параметра Подставляя это решение в первое уравнение системы, получим уравнение (8.1.6). Необходимо отметить, что значения сопровождающих параметров максимизирующие при произвола значениях не являются оценками максимального правдоподобия параметров Оценками этих параметров будут величины получаемые при подстановке в выражение для оценки параметра

Рис. 8.1.1. Структурная схема устройства для оценки параметра сигнала с неизвестной амплитудой.

Перейдем к рассмотрению оценки произвольного параметра I при конкретных предположениях об априорном знании сопровождающих параметров принимаемого полезного сигнала. При этом, будем полагать, что помехой является нормальный случайный процесс с нулевым средним значением и заданной функцией корреляции, а отношение сигнал/помеха для принятого сигнала достаточно велико для обеспечения высокой апостериорной точности оценки, так что вероятность аномалии при определении оценки пренебрежимо мала.

Если единственным неизвестным сопровождающим параметром сигнала является амплитуда т. е.

логарифм функционала отношения правдоподобия для параметров I и а согласно (2 2 8) запишем как

Здесь функции определяются соответственно из выражений (2.2.7) и (2.4.7) для сигнала с единичной амплитудой, т. е. для

Максимизируя (8.1.8) по а, для выходного сигнала прнемиика имеем

Из полученного соотношения видно, что выходной сигнал приемника не зависит от неизвестной амплитуды опорного сигнала, даже

если амплитуды не равны единице, но равны между собой, В связи с этим в приемном устройстве, построенном в соответствии с найденным алгоритмом, амплитуда сигнала следовательно, и однозначно с ним связанного опорного сигнала может быть произвольной. Структурная схема приемного устройства для оценки параметра сигнала с (неизвестной амплитудой приведена на рис. 8.1.1.

На рисунке — генераторы, вырабатывающие соответственно сигналы решающее устройство, определяющее положение абсолютного максимума выходного сигнала

Подставляя в (8.1.9) принятую реализацию смесл сигнала и помехи уравнение правдоподобия можно представить в виде

Здесь сигнальная и помеховая функции определяются аналогично соотношениям (2.4.1) и (2.4.2), в которых вместо надо подставить I) и

Учитывая сделанное выше предположение о достаточно большом отношении сигнал/помеха на выходе приемного устройства, решение уравнения (8.1.10) будем искать методом малого параметра в виде (3.1.8), где отношение сигнал/помеха для принятого сигнала. При этом аналогично (4.3.40) можно показать, что функция достигает максимума при

Введем нормированные функции

При этом справедливы соотношения

С учетом введенных обозначений и изложенного в § 3.1 метода приближенного решения уравнения правдоподобия получим выражения для смещения .и дисперсии оценки произвольного параметра сигнала с неизвестной амплитудой

Здесь

и нормированные сигнальная функция и отношение сигнал/помеха,

Формулы для вычисления смещения и дисперсии оценки произвольного параметра имеют относительную погрешность порядка Если ограничиться рассмотрением только первого приближения, то оценка несмещенная, а формула для дисперсии оценки произвольного параметра упрощается принимает вид

При оценке параметра известного сигнала оценка максимального правдоподобия в том же первом приближении несмещенная, а дисперсия определяется выражением (3.1.46), где Из сравнения (3.1.46) и (8.1.13) следует

т. е. незнание амплитуды сигнала в общем случае приводит к увеличению дисперсии оценки даже в первом приближении, причем возрастание диспероии оценки не зависит от величины отношения сигнал/помеха. Однако если оцениваемый параметр является неэнергетическим, то в силу (2.4.14) из (8.1.111) и (8.1.12) получаем, что аналогично характеристикам оптимальной оценки максимального правдоподобия параметра известного сигнала смещение равно нулю, а дисперсия оценки определяется выражением (3.1.48).

Следовательно, незнание амплитуды сигнала не влияет на качество оценки неэнергетического параметра. Этот факт можно также установить непосредственно рассмотрения формулы (8.1.9), определяющей структуру приемника сигнала с неизвестной амплитудой. Действительно, так как для неэнергепического параметра положение абсолютного максимума совпадает с положением абсолютного максимума выходного сигнала оптимального приемника (2.3.1), т. е. совпадает с оценкой максимального правдоподобия неэнергетического параметра детерминированного сигнала.

Рассмотрим оценку параметра узкополосного радиосигнала с неизвестной начальной фазой. Сигнал определяется выражением (4.2.1), где начальная фаза неизвестная величина, а функционал отношения правдоподобия параметров может быть представлен как

Здесь определяются из (2.5.11) при

Максимизируя (8.1.14) по для выходного сигнала оценивающего устройства имеем

В соответствии с (8.1.16) структура приемного устройства для получения оценки параметра узкополосного радиосигнала с неизвестной начальной фазой представлена на рис. 8.1.2.

Здесь оптимальный приемник (рис. 2.5.1 при выходной сигнал которого поступает на сумматор. На второй вход сумматора подается вырабатываемый генератором детерминированный

сигнал Выходные эффекты сумматора при различных значениях параметра I сравниваются между собой в решающем устройстве Решающее устройство указывает значение параметра I, при котором выходной эффект сумматора достигает абсолютного максимума

В § 4.3 рассматривалась оценка максимального правдоподобия параметра узкополосного радиосигнала в предположении, что начальная фаза случайная величина, распределенная равномерно в интервале Структура соответствующего приемного устройства приведена на рис. 4.3.1. Из сравнения рис. 8.1.2 и 4.3.1 следует, что эти два приемника отличаются лишь видом преобразователя огибающей выходного сигнала оптимального приемника. Предположение о случайной равномерно распределенной начальной фазе требует использования преобразователя огибающей с характеристикой (блок на рис 4.3 1). Если же начальная фаза считается неизвестной, то необходимо использовать линейный преобразователь огибающей.

Рис. 8.1.2. Структурная схема устройства для оценки параметра радиосигнала с неизвестной начальной фазой.

Поскольку при то при больших отношениях сигнал/помеха характеристики приемников рис. 8.1.2 и 4.3.1 будут одинаковыми.

Для неэнергетического параметра оценка находится по положению абсолютного максимума выходного сигнала оптимального приемника при использовании любого из двух приемных устройств, представленных на рис. При этом оценка незнергетического параметра несмещенная, а дисперсия оценки определяется выражением (4.2.19).

При нахождении характеристик оценки энергетического (произвольного) параметра, закодированного в огибающей сигнала, используем выражения для нормированных огибающей и отношения сигнал/помеха выходного сигнала оптимального приемника (4 3 2). Тогда выражение (8.1.15) можно записать как

При этом уравнение правдоподобия преобразуется к виду (4 3.30), где функции определяются формулами

Функции имеют тот же смысл, что и в (4.3 23) приближения и 13 могут быть найдены из (4.3.31) - (4.3 33) при подстановке в эти формулы из (8.1.17). Проделав необходимые преобразования, находим смещение и дисперсию оценки параметра сигнала с неизвестной начальной фазой:

Сравнение полученных формул с формулами (4.3.35) и (4.3.36) для смещения и дисперсии оценки максимального правдоподобия параметра узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой позволяет определить, какое влияние на качество оценки оказывает замена в приемном устройстве преобразователя с характеристикой на саму огибающую. Однако это отличие существует только во втором приближении. Если отношение сигнал/помеха настолько велико, что можно ограничиться рассмотрением только первого приближения для характеристик оценки, то формулы совпадают. Таким образом, подтверждается заключение, сделанное ранее на основе асимптотического равенства при

Отметим также, что смещение и дисперсия оценки параметра, закодированного в огибающей узкополосного радиосигнала (4.3.9) с неизвестной начальной фазой, в первом приближении совпадают с характеристиками оценки максимального правдоподобия параметра известного сигнала и с характеристиками эффективной оценки.

Перейдем к случаю, когда узкополосный радиосигнал содержит два сопровождающих параметра: амплитуду и начальную фазу. Подобные условия характерны для реальных линий передачи информации, параметры которых изменяются медленно по сравнению с длительностью сигнала. Узкополосный радиосигнал с неизвестными амплитудой и фазой запишем в виде

В силу узкополосности радиосигнала опорный сигнал при сделанных ранее ограничениях на вид помехи можем представить аналогично (2.3.24) как

Тогда, пренебрегая интегралами от членов, осциллирующих с удвоенной частотой, из (2.2.8) получаем выражение для функционала отношения правдоподобия

Здесь функции и 1 определяются аналогично (8.1.14) при единичном значении амплитуды опорного сигнала.

Так как (8.1.21) обращается в максимум по а при

то, подставляя это значение получаем выражение для функционала отношения правдоподобия параметров

В свою очередь, обращается в максимум при Поэтому выходной сигнал приемника для оценки параметра узкополосного радиосигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой может быть записан как

Выражение (8.1.23) определяет структуру приемника для получения оценки параметра I Из выражения для видно, что опорный сигнал не обязательно должен иметь единичную амплитуду, так как числитель и знаменатель одинаково прямо пропорциональны квадрату максимального значения (амплитуды) опорного сигнала

Структурная схема устройства для оценки параметра сигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой приведена на рис Здесь оптимальный приемник (рис. 2.5.1 при генератор сигнала решающее устройство Функционирование устройства ясно из рисунка

Рис. 8.1.3 Структурная схема устройства для оценки параметра радиосигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой

Решая уравнение правдоподобия

описанным выше методом с использованием малого параметра, можно получить соответствующие приближения для оценки максимального правдоподобия (3.1.8). При этом формулы для смещения и дисперсии оценки примут вид

Здесь

и - нормированные огибающая полезного сигнала и отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника

Если отношение оигнал/помеха для принятого сигнала достаточно велико, чтобы ограничиться рассмотрением первого

приближения, то смещение оценки равно нулю, а формула для дисперсии оценки принимает вид

Из сравнения этой формулы с (4.3.15) следует, что незнание амплитуды узкополосного радиосигнала вызывает увеличение дисперсии оценки произвольного параметра даже в первом приближении. Если оцениваемый параметр закодирован только в огибающей узкополооного радиосигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой, то согласно и формула (8.1.27) совпадает с (8.1.13). Следовательно, как для сигнала с известной амплитудой (§ 4.3), так и для сигнала с неизвестной амплитудой незнание начальной фазы не влияет на качество оценки параметра, закодированного в огибающей радиосигнала.

Полученные формулы существенно упрощаются, если оцениваемый параметр является неэнергетическим. B этом случае в силу (2.5.36) оценка несмещенная, а формула для дисперсии оценки параметра совпадает с формулой для дисперсии (4.2.20) оптимальной оценки неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой и априори известной амплитудой.

Еслн амплитуда онгнала (8.1.20) неизвестна, а начальная фаза случайна и распределена равномерно на интервале то функционал отношения правдоподобия параметра I будет (при большие отношениях сигнал/помеха) определяться выражением

Здесь описывается выражением (8.122). Выполняя интегрирование; получим

Уравнение правдоподобия при этом будет иметь вид

где функции Бесселя мнимого аргумента нулевого и первого порядка соответственно. Так как второй сомножитель всегда положителен, уравнение правдоподобия переходит в (8.1.24), Следовательно, выражения (8.1.25) и (8.1.26) для смещения и дисперсии оценки произвольного параметра узкополосного радиосигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой справедливы также для оценки произвольного параметра узкополосного радиосигнала с неизвестной амплитудой и случайной равномерно распределенной начальной фазой. Сравнение характеристик качества Оценки параметра сигнала с неизвестными амплитудой начальной фазой с аналогичными результатами в (для известного сигнала) и в гл. 4 (для узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой) позволяет исследовать влияние априорной информации об амплитуде и начальной фазе на качество оценки произвольного параметра оигнала.