5.2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ОЦЕНКИ КРИТЕРИЙ ВУДВОРДА

Конкретизируем вид равномерного априорного распределения оцениваемого параметра. Положим, что

Найдем вероятность надежной оценки (надежность оценки) максимального правдоподобия Неизвестный параметр I полезного сигнала после приема реализации наблюдаемых данные (т. е. реализации смеси сигнала и помехи) описывается апостериорной плотностью вероятности Следовательно, после анализа принятой реализации вероятность неравенства

будет равна

Эта формула определяет вероятность выполнения неравенства (5.2.2) при некоторой фиксированной реализации наблюдаемых данных. Для того чтобы получить вероятность надежной оценки, надо усреднить по всем реализациям наблюдаемых данных. К сожалению, найти точное значение вероятности и выполнить усреднение при произвольных отношениях сигнал/помеха не удается. Это связано с трудностью аналитического представления апостериорной плотности вероятности оцениваемого параметра и с трудностью определения явной зависимости оценки от реализации наблюдаемых данных при любых отношениях сигнал/помеха. Следует отметить, что формула (5.2.3) справедлива не только для оценок максимального правдоподобия, но и для любых Оценок, если величину заменить на соответствующую оценку у. Используя формулу (5.2.3), можно достаточно просто найти приближенное значение вероятности надежной оценки для весьма ограниченного класса задач. Найдем вначале вероятность надежной оценки максимального правдоподобия неэнергетического параметра известного сигнала. Используя функционал отношения правдоподобия и учитывая (5.2.1), перепишем в виде

При оценке неэнергетического параметра известного сигнала с точностью до постоянного множителя, не влияющего на вероятность надежной оценки функционал отношения правдоподобия определяется выражением

где отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника; — нормированные сигнальная и помеховая функции (3.1.11), (3.1.3).

Полагая отношение сигнал/помеха и априорный интервал достаточно большими, можем приближенно положить

а в (5.2.4) заменить оценку, максимального правдоподобия ее нулевым приближением, положить Тогда выражение для вероятности надежной оценки Церепишется как

При равномерном априорном распределении оцениваемого параметра апостериорная плотность вероятности пропорциональна функционалу отношения правдоподобия Согласно (5,2,5) надежность оценки определяется отношением площади под пиком апостериорной плотности вероятности, обусловленным сигнальной функцией, к общей площади под кривой апостериорной плотности вероятности. Приведенное определение непосредственно следует из [7, 28], где определена вероятность ненадежной оценки

Для принятого условия достаточно большого значения величина интеграла в числителе определяется поведением функции в малой окрестности точки где эту функцию можно приближенно представить в виде

Здесь

для неэнергетического параметра не зависит от Отсюда

В силу принятого условия последние два слагаемых в знаменателе (5,2,5) преобразуем к виду

где выражение в квадратных скобках представляет собой среднее (по интервалу) значение функции

При оценке незнергетического параметра помеховая функция является стационарным нормальным случайным процессом с нулевым средним значением, единичной дисперсией и функцией корреляции причем для нашего случая при Используя известную формулу для характеристической функции

нормальной случайной величины, найдем среднее значение (по ансамблю реализаций) и функцию корреляции случайного процесса

Поскольку при то и функция корреляции процесса стремится к нулю Следовательно, случайный процесс является эргодическим [27] и при выполнении неравенства среднее по интервалу от реализации этого случайного процесса приближенно равно среднему по ансамблю реализаций, т. е.

Полученные приближенные значения интегралов, входящие в выражение (5.2.5), не зависят от реализация наблюдаемых даниых и не изменяются в результате усреднения по ним, т. е. в рассматриваемом приближений надежность оценки Подставляя вычисленные ннтегралы в (5.2.5), находим формулу для надежности оценки неэнергетического параметра известного сигнала

где

Заметим, что формула (5.2.8) справедлива не только для оценки максимального правдоподобия, и для любых оценок, у которых при достаточно больших отношениях сигнал/помеха значение оценки близко к истинному значению параметра.

Из условий нетрудно показать, что формула (5.2.8) качественно верно описывает надежность оценки для значений так как при функция возрастает относительно минимального значения что противоречит физическому смыслу.

Рассмотрим оценку неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала со случайной, равномерно распределенной начальной фазой. Функционал отношения правдоподобия такого сигнала с точностью до постоянного множителя определяется выражением (4.2.2)

где

— огибающая сигнала на выходе оптимального прнемника (4.2.7) и (4.2.8); -нормированная сигнальная функция (4.2.9), для которой в рассматриваемом случае справедливо соотношение

Тогда при достаточно большом отношении сигнал/помеха приближенно имеем

где Поскольку при фиксированном и нормальные случайные некорелированные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями (4.2.6), одномерная плотность вероятности случайного процесса будет релеевской и может быть записана как

При этом, так как оцениваемый параметр является неэнергетическим, случайный процесс является стационарным.

В соответствии с (5.2.11) представим функционал отношения правдоподобия узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой (5.2.10) в виде

Подставляя приближенное представление функционала отношения правдоподобия в (5.2.4), получаем выражение для надежности опенки

Вычислим интегралы, полагая, как и ранее, что и Чтобы найти интеграл в числителе, используем асимптотическое представление функции при

Тогда приближенно можем записать

Здесь значение интеграла при больших в основном определяется поведением показателя экспоненты в окрестности точки где функция достигает максимума. Поэтому изменением знаменателя в подынтегральном выражении в этой окрестности можем пренебречь, а показатель экспоненты заменить приближенным выражением

где

Таким образом,

Преобразуя последние два слагаемых в знаменателе при аналогично (5.27), имеем

В первом приближении в этом выражении можно заменить среднее на интервале средним по ансамблю. Учитывая получаем

Так же как и для известного сигнала, полученные приближенные значения интегралов, входящие в формулу (5.2.14), не зависят от реализации наблюдаемых данных, и поэтому для вычисления вероятности надежной оценки отпадает необходимость в усреднении величины по реализациям наблюдаемых данных, т. е. Подставляя найденные приближенные значения интегралов в получаем формулу для надежности оценки максимального правдоподобия неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала со случайной, равномерно распределенной начальной фазой

где

Формулы (5.2.8) и (5.2.16) являются весьма грубыми приближениями для вероятности надежной оценки, хотя и позволяют сделать некоторые качественные выводы о влиянии на надежность оценки величины априорного интервала, отношения сигнал/помеха и формы полезного сигнала. Физически справедливым представляется характер зависимости от величины априорного интервала и отношения сигнал/помеха. При увеличении надежность оценки убывает, а с увеличением возрастает. Выражения для первых приближений дисперсий оценок максимального правдоподобия при приеме известного сигнала и радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой (3.1.46) и (4.2.20) в новых обозначениях запишутся в виде

Отсюда можем сделать вывод, что с уменьшением дисперсии оценки (за счет увеличения значений фиксированном отношении сигнал/помеха) вероятность надежной Оценки падает. Следовательно не уменьшив надежность оценки, нельзя добиться высокой точности оценки, изменив только форму сигнала и не увеличив его энергии.

Сравнение формул (5.2.8) и (5.2.16) позволяет качественно учесть влияние априорной информации о начальной фазе узкополосного

радносигиала на точность оценки максимального правдоподобия. Следуя . Вудворду, величину (для известного сигнала) или (для сигнала со случайной начальной фазой) можно интерпретировать как число различимых значений оцениваемого параметра на априорном интервале. Установить связь между велнчинамн и можно, используя соотношения (4.4.3) и (4.4.8), откуда

Здесь коэффициент корреляции совместных оценок параметра и начальной фазы Из (5.2.20) получаем, что при приеме сигнала со случайной начальной фазой число различимых значений параметра уменьшается. Несмотря на это вероятность надежной оценки параметра узкополосного радноснгнала со случайной начальной фазой может оказаться меньше, чем для того же сигнала с известной начальной фазой,