5.5. СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ С УЧЕТОМ АНОМАЛЬНЫХ ОШИБОК

Рассмотрим характеристики оценки максимального правдоподобия при наличии аномальных ошибок применительно к оценке неэнергетического параметра известного сигнала. При этом будем полагать, что интервал возможных значений оцениваемого параметра много больше длительности сигнальной составляющей на выходе оптимального приемника.

Смещение и рассеяние оценки при наличии аномальных ошибок определяются соотношениями (5.1.2) и (5.1.3), причем плотность вероятности ошибки при наличии только нормальных ошибок вычисляется по формуле (3.1.50).

Так как при оценке неэнергетического параметра помеховая составляющая является стационарным случайным процессом, то положение абсолютного максимума помеховой составляющей будет распределено равномерно на интервале Следовательно, плотность вероятности аномальной ошибки, за исключением небольшого по сравнению с интервала, занимаемого длительностью сигнальной составляющей, равна

Согласно § 3.1 и 4.2 оценка неэнергетнческого параметра сигнала при наличии только нормальных ошибок несмещенная. Тогда, определяя условное смещение оценки при наличии аномальных ошибок, находим

Усредняя полученный результат по всевозможным априорным значениям и учитывая независимость вероятности надежной оценки от истинного значения оцениваемого параметра, получаем, что при наличии аномальных ошибок оценка максимального правдоподобия безусловно несмещенная.

Рассеяние оценки максимального правдоподобия неэнергетического параметра при нормальных ошибках совпадает с дисперсией оценки и не зависит от истинного значения оцениваемого параметра (является безусловным) Рассеяние оценки при наличии только аномальных ошибок и сделанных предположениях равно

Отсюда рассеяние оценки с учетом как нормальных, так и аномальных ошибок определяется формулой

Из этой формулы видно, что условное рассеяние минимально, если истинное значение оцениваемого параметра совпадает с серединой априорного интервала, т. е.

Усредняя условное рассеяние по всевозможным значениям параметра из априорного интервала (5.2.1), имеем

Если основной интерес представляет зависимость рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха и формы сигнала при неизменной величине априорного интервала, то, используя первое приближение для дисперсии оценки (3.1.46), формулу (5.5.5) можно записать в виде

Здесь - максимальное безусловное рассеяние оценки при отсутствии полезного сигнала (т. е. при ) определяется согласно (5.4.12).

Рис. 5.5.1. Зависимость относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха.

Рис. 5.5.2. Зависимость относительного рассеяния оценки от

На рис. 5.5.1 приведены вычисленные по формуле (5.5.6) зависимости относительного рассеяния оценки (сплошные линии) от отношения сигнал/помеха при различных значениях При этом величина вероятности аномальной ошибки входящая в формулу (5.5.6), определялась по Данным зависимостей, приведенных на рис. 5.4.1. Штрихом на рис. 5.5.1 изображены зависимости -рассеяние оценки при наличии только нормальных ошибок.

Полученные результаты позволяют рассмотреть вопрос об оптимальной (с точки зрения минимума ошибок) форме полезного сигнала Точнее, можно определить требования, которым должна удовлетворять сигнальная функция чтобы ошибки оценивания были минимальными. При этом оптимальная форма сигнальной функции будет, очевидно, зависеть от того, какие характеристики ошибки желательно минимизировать.

В случае, когда основной интерес представляет величина рассеяния оценки, оптимальную форму сигнальной функции следует искать из условия

Качественно ясно, что при каждом фиксированном возрастание сначала приводит к уменьшению рассеяния оценки в области нормальных ошибок), а затем вызывает увеличение рассеяния (в области аномальных ошибок). Следовательно, при каждом должно существовать некоторое значение которое обеспечивает минимальное рассеяние оценки при заданных Этот вывод подтверждается рис. 5.5.2, на котором приведены зависимости относительного рассеяния оценки от величины при различных отношениях сигнал/помеха Кривые наглядно показывают, что с увеличением отношения сигнал/помеха значение обеспечивающее минимум рассеяния, возрастает, а минимальное значение рассеяния оценки убывает. Определить аналитически и на основе анализа формулы в общем случае не представляется возможным вследствие относительно сложной зависимости от Однако при достаточно больших отношениях сигнал/помеха и в качестве первого приближения для вероятности надежной оценки можно использовать выражение а формулу (5.5.6) переписать в виде

В этом приближении величины и находятся сравнительно просто.

Рис. 5.5.3. Зависимость от отношения сигнал/помеха.

Рис. 5.5.4. Зависимость минимальной, относительной дисперсии оценки от отношения сигнал/помеха.

Дифференцируя (5.5.8) по приравнивая первую производную нулю и решая полученное уравнение относительно находим

Подставляя значение получаем минимальное рассеяние оценки в виде

На рис. 5.5.3 приведена зависимость а на рис. 5.5.4 - зависимость от отношения сигнал/помеха Сплошные кривые на этих рисунках представляют собой зависимости, построенные на основе формулы (5.5.6), штрихом нанесены приближенные значения и вычисленные по формулам (5.5.9) и (5.5.10) соответственно. Согласно рис. 5.5.3 и 5.5.4 приближенные формулы (5.5.9)

и (5.5.10) обеспечивают удовлетворительную точность в рассматриваемой области значений отношений сигнал/помеха.

Таким образом, при минимизации рассеяния оценки форма полезного сигнала должна выбираться из условия

т. е. в общем случае с изменением отношения сигнал/помеха и априорного интервала должна изменяться форма оптимального сигнала Выбор оптимальной формы полезного сигнала приводит к тому, что с ростом отношения сигнал/помеха рассеяние оценки убывает значительно быстрее, чем при наличии только нормальных ошибок и фиксированном

Формулы для рассеяния оценки с учетом аномальных ошибок и надежности оценки получены на основе ряда допущений. Оценить точность этих формул теоретически весьма затруднительно; можно лишь утверждать, что точность их возрастает с увеличением значений и Для конечных значений вопрос о применимости полученных приближений можно решить путем экспериментальной проверки.

Экспериментальная проверка точности приближенных зависимостей была проведена на примере оценки временного положения сигнала Полезный сигнал формировался путем пропускания короткого видеоимпульса через последовательно соединенные интегрирующие RС-цепочки с одинаковыми постоянными времени Для формирования сигнала использовалось восемь слабо связанных RС-цепочек. Затем полезный сигнал смешивался с аддитивным широкополосным нормальным стационарным шумом и поступал на согласованный фильтр. В качестве согласованного фильтра использовалась аналогичная последовательность из восьми слабо связанных интегрирующих RС-цепочек.

Рис. 5.5.5. Нормированная сигнальная функция

Рис. 5.5.6. Зависимость вероятности аномальной ошибки от отношения сигнал/помеха.

Для теоретических расчетов характеристик оценки использовалась аппроксимация нормированной (по амплитуде и по аргументу) сигнальной функции формулой

где — нормированная переменная; нормированный (априорный) интервал наблюдения сигнала.

Формула (6.5.12) получека в предположении, что в полосе пропускания всей последовательности из интегрирующих RС-цепочек фазочастотную характеристику каждой цепочки можно приближенно считать линейной.

На рис. 5.5.5 приведена нормированная сигнальная функция, рассчитанная по формуле (5.5.12) (сплошная линия), и реальная форма сигнальной функции (штриховая линия), полученная на выходе согласованного фильтра. Поскольку удалось получить почти точное совпадение амплитудно-частотных характеристик формирующего устройства и согласованного фильтра с соответствующими расчетными зависимостями, отклонение экспериментально полученной сигнальной функции от теоретической, по-видимому, обусловлено нелинейностью фазочастотной характеристики каждой С-целояки. Кроме того, формула ( верна при воздействии дельта-имлульса, то Бремя как в эксперименте попользовался хотя и короткий, но конечный импульс.

Рис. 5.5.7. Зависимость относительного рассеяния оцнкгд от отношения сигнал/помеха

Оценка максимального правдоподобия временного положения полезного сигнала определялась то положению абсолютного максимума выходного эффекта согласованного фильтра на экране запоминающего осциллографа. Истинное значение временного положения полезного сигнала т. е. положение максимума сигнальной функции, при этом выбиралось в середине априорного интервала, что соответствовало значению Аномальная ошибка фиксировалась, если оценка отклонялась от середины априорного интервала на величину, большую длительности выходного сигнала определяемую согласно (5.3.35). Поскольку истинное положение сигнала было фиксированным, то соответственно вычислялось условное рассеяние оценки (5.5.4). На рис. 5.5.6 приведена зависимость вероятности аномальной ошибки отношения сигнал/помеха вычисленная формуле (5.4.14) для

Здесь же приведены экспериментальные значения вероятности аномальной ошибки: о — значения, полученные в результате обработки реализаций, для для т. е. в общем случае объем экспериментальной выборки увеличивался с ростом отношения сигнал /помеха. Действительно, с ростом отношения сигнал/помеха вероятность аномалии быстро падает и достаточно точное измерение ее возможно лишь при весьма большом объеме выборки Следует отметить удовлетворительное согласование значения рассчитанного по формуле (5.4.14) и полученного экспериментально уже при

Кроме вероятности аномалии, экспериментально определялось относительное условное рассеяние оценки временного положения сигнала

в зависимости от отношения сигнал/помеха. Здесь —условное рассеяние оценки при максимальное условное рассеяние оценки в отсутствие полезного сигнала, т. е. при Зависимости относительного рассеяния оценки временного положения от отношения сигнал/помеха при определении согласно (5.4.14) приведены на рис. для (сплошная линия), на рис, для (кривая 2) и на рис. 5.5.9 для (сплошная линия). На этих же рисунках показаны зависимости относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха при учете только нормальных ошибок (штриховая линия), а также экспериментальные значения относительного рассеяния оценки. При этом обозначения экспериментальных точек такие же, как на рис. 5.5.6. Для приближенное значение

удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными при Значительное отклонение экспериментальных данных от теоретической кривой на рис. 5.5.9 при по-видимому, можно объяснить недостаточным объемом экспериментальной выборки Действительно, при этил значениях вероятность аномалии весьма мала и, чтобы ее зафиксировать, необходим объем выборки Однако так как априорный интервал значительно больше длительности сигнальной функции, то весьма редкие, но большие аномальные ошибки существенно увеличивают рассеяние оценки. Это иллюстрируется сплошной и штриховой кривыми на рис. 5.5.9, При не было зафиксировано ни одной аномалии, так что приведенные на этом рисунке экспериментальные значения рассеяния оценки для относятся только к нормальным ошибкам. Соответствующая теоретическая зависимость представлена штриховой линией.

Рис. 5.5.8. Зависимость относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха

Рис. 5.5.9, Зависимость относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха

Для сравнения различных методов приближенного расчета характеристик оценки максимального правдоподобия на рис, приведено относительное рассеяние оценки (кривая 1) при дискретном представлении выходного сигнала оптимального приемника (§ 5,3). Кривая 1 построена для случая, когда вероятность надежной оценки определялась согласно (5.3.25). Соответственно для сигнальной функции Кривая 3 рассчитана по формуле (5.5.33) при подстановке в нее приближенного значения вероятности надежной оценки из Использование для приближенного расчета вероятности надежной оценки критерия Вудворда (§ 5.2) приводит к меньшим значениям рассеяния, чем при использовании дргскретиого представления.

Из рассмотрения кривых рис. 5.6.8 следует, что полученные из различных приближенный формул величины рассеяния оценки максимального правдоподобия могут значительно отличаться при не слишком больших отношениях сигнал/помеха. Однако при все они стремятся к рассеянию оценки при наличии только нормальных ошибок.

Полученные выше формулы и выводы по оценке неэнергетянеского параметра известного сигнала с учетом аномальных ошибок справедливы и для оценки неэнергетического параметра радиосигнала со случайной начальной фазой, Отличие состоит лишь в том, что в полученные соотношения вместо надо подставить где определяется согласно а также использовать соответствующую формулу для вероятности надежной оценки.