4.8. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ

Рассмотрим некоторые общие свойства оценок максимального правдоподобия, не конкретизируя вид сигнала, помехи и способа их комбинации,

Известно что в широком классе задач оценки максимального правдоподобия являются асимптотически несмещенными и эффективными. Это имеет место, если 1) оценка производится путем обработки независимых отсчетов реализации наблюдаемых

данных и обработка производится по независимым реализациям наблюдаемых данных и обработка производится по одной реализации стационарного процесса длительностью ; 4) помехой является аддитивный нормальный шум и отношение сигнал/помеха Во всех этих случаях предполагается, что с увеличением длительности реализации наблюдаемых данных длительность полезного сигнала увеличивается.

Условия, связанные с неограниченным увеличением интервала наблюдения, в большей степени применимы при оценке параметров случайных процессов, чем при оценке параметров сигналов. Последнее из перечисленных условий — условие асимптотической эффективности (раоо) — более удобно для использования в практических задачах, однако данное ранее определение отношения сигнал/помеха не всегда может быть использовано. Действительно, если принимаемый сигнал содержит неизвестные сопровождающие параметры и оптимальная обработая неляяейная. в определении отношения сигнал/помеха по характеристикам сигнала и помехи возможна неоднозначность. Кроме этого, асимптотическая эффективность оценки максимального правдоподобия при увеличении отношения сигнал/помеха показана лишь для случая аддитивной нормальной помехи.

Если помеха не является нормальной или не ацяитивна и время наблюдения ограничено, то вопрос об асимптотической эффективности оценки максимального правдоподобия остается открытым. В этогт связи представляет интерес установление обобщенного условия асимптотической эффективности оценки максимального правдоподобия, которое включало бы в себя все перечисленные выше частные условия и позволяло достаточно просто установить асимптотическую эффективность в конкретных задачах.

Подобное условие может быть найдено из рассмотрения общих свойств логарифма функционала отношения правдоподобия (при непрерывной обработке) или логарифма функции правдоподобия (при дискретной обработке). Рассмотрим сначала случай дискретной обработки. При этом логарифм функции правдоподобия равен

где - условная плотность выборки наблюдаемых данных при фиксированном значении оцениваемого параметра. Если истинное значение параметра равно 10, то условное среднее значение логарифма функции правдоподобия равно

При этом функция достигает абсолютного максимума при Таким образом, всегда справедливо соотношение

Используя обозначения (4.1.6), (4.1.7) и выражение (4.8.1) можно записать в виде (4.1.13), где а нормированные функции и их свойства определены в § 4.1. Полагая первое приближение для ошибки оценки максимального правдоподобия запишем в виде (4.1.14), из которого следует, что оценка максимального правдоподобия асимптотически (при

несметенная, а дисперсия ее определяется выражением

Знаменатель этого выражения равен

Учитывая, что точка расположена внутри интервала возможных значений, в силу (4.8.3) имеем

Второй момент помеховой функции в числителе (4.8.4) можем переписать как

В § 1.3 показано, что

Следовательно, дисперсия оценки максимального правдоподобия равна

что совпадает с дисперсией эффективной оценки.

Таким образом, оценка максимального правдоподобия является асимптотически несмещенной и эффективной, если

Обобщение на случай непрерывной обработки очевидно. При этом вместо логарифма функции правдоподобия необходимо рассматривать логарифм функционала отношения правдоподобия а во всех формулах усреднение по многомерной выборке наблюдаемых данных заменить усреднением по реализациям наблюдаемых данных.

Условие асимптотической эффективности оценки максимального правдоподобия (4.8.7) можно переписать в виде

Последние два соотношения позволяют, установить асимптотическую эффективность оценки максимального правдоподобия в самом общем случае. Нетрудно убедиться, что все перечисленные выше условия асимптотической эффективности обеспечивают выполнение условия (4.8.8). Например, при оценке параметра известного сигнала на фоне аддитивной нормальной помехи в соответствии с (3.1.5)

и условие (4.8.8) удовлетворяется, если отношение сигнал/помеха для. принятого сигнала