7.4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ НЕОПТИМАЛЬНОМ ПОСТРОЕНИИ РЕШАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

Выше были рассмотрены некоторые способы реализации основной часги оптимального устройства для оценки параметра сигнала — оптимального приемника, вырабатывающего логарифм отношения правдоподобия оцениваемого параметра При этом всюду предполагалось, что после оптимального приемника включено решающее устройство, которое точно фиксирует положение абсолютного максимума выходного сигнала оптимального приемника. Однако практическая реализация таких решающих устройств очень часто наталкивается на ряд принципиальных трудностей. В этих случаях используются решающие устройства, построенные не на принципе фиксации положения абсолютного максимума, а на некоторых других принципах. Одним из них является принцип порогового устройства

Рис. 7.4.1 Значения оценок параметра сигнала при принятии решения по моментам пересечения выходным сигналом заданного уровня

Согласно принципу порогового устройства в качестве оценки неизвестного параметра принимается либо значение при котором выходной сигнал оптимального приемника впервые превышает заданный уровень (рис. 7.4 1), либо среднее значение заключенное между двумя точками пересечения заданного уровня На рис. 7.4.1 также показана оценка максимального правдоподобия т. е. оценка, получаемая при использовании оптимального решающего устройства Ясно, что в общем случае все три оценки и I различны и обладают различными статистическими характеристиками. Уровень можно выбирать, например, исходя из заданной вероятности ложной тревоги при совмеаном обнаружении и оценке либо из заданной величины отклонения дисперсии получаемой оценки от дисперсии оптимальной опенки. Кроме юго, очевидно, уровень следует выбирать настолько большим, чтобы на априорном интервале определения параметра I с достаточно высокой вероятностью имело место одно превышение. В противном случае возникает неоднозначность в определении оценки.

Положим вначале, что в качестве оценки используется величина Ограничиваясь рассмотрением оценки неэнергетического параметра детерминированного сигнала, получаем, что оценка является наименьшим корнем уравнения

где выходной сигнал оптимального приемника Используя нормированные сигнальную и помеховую функции и перепишем уравнение для оценки в виде

Здесь нормированный порог, который полагаем постоянным при всех

Если то оценкой является наименьший корень уравнения

При оценке неэнергетического параметра Поэтому, обозначая ширину функции по уровню то через т. е.

получаем

В условиях надежной оценки и в первом приближении решение уравнения (7.4.1) можно искать в виде

Разложим левую часть уравнения (7.4.1) в ряд Тейлора по в окрестности точки и подставим в это разложение из (7.4.4). Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях в, находим

Отсюда, так как получаем смещение и дисперсию оценки

Поскольку смещение оценки «не зависит от истинного значения оцениваемого параметра, нетрудно получить несмещенную оценку, если в качестве оценки взять величину

При этом дисперсия оценки определяется формулой

Найдем характеристики оценки когда решение о значении оцениваемого параметра принимается по двум пересечениям порогового уровня. Оценка в этом случае равна

Величина в первом приближении находится из (7.4.4) и (7.4.6). По определению величина представляет собой наибольший корень уравнения

При где — наибольший корень уравнения

Так как оцениваемый параметр неэнергетический, то При условии полагая аналогично выводу выражения (7.4.5), находим

Следовательно, оценка, определяемая по середине интервала, заключенного между точками пересечения уровня фронтом и спадом выброса выходного сигнала оптимального приемника, равна

Используя последнее выражение, получаем, что рассматриваемая оценка несмещенная и обладает дисперсией

Интересно отметить, что в рассматриваемом приближении статистические характеристики оценки 1 (7.4.9) совпадают с характеристиками байесовской оценки при использовании прямоугольной функции потерь (6 4.8), если положить «зону нечувствительности» прямоугольной функции потерь (1.4.4) равной Таким образом, ширину сигнальной функции по уровню можно интерпретировать как характеристику разрешающей способности порогового решающего устройства. Кроме того, отмеченное совпадение показывает один из способов реализации байесовской системы оценки при прямоугольной функции потерь. При этом способе для получения байесовской оценки при прямоугольной функции потерь можно использовать пороговое решающее устройство, величина порога в котором выбирается равной

Из выражения (7.4.14) получаем, что если нормированный порог то т. е. дисперсия оценки в пороговом решающем устройстве совпадает с дисперсией эффективной оценки (3 1.46) при

Пусть с помощью решающего порогового устройства оценивается неэнсргетический параметр узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой В условиях надежной оценки нормированное значение логарифма функционала отношения правдоподобия определяется выражением (4 2.11). Соответственно полагая, что на пороговое устройство подается выходной сигнал оптимального приемника а величина порога есть уравнение для оценки V можно записать как

где нормированный порог. Подставляя в (7 4 5) вместо функцию из (4.2 9), а вместо функцию из (4.2.12), находим формулы для вычисления смещения и днепероии оценки, определяемой по моменту первого пересечения порогового уровня

где — ширина функции по уровню т. е. решение уравнения Соответственно получаем, что оценка параметра середине интервала между пересечениями несмещенная, а дисперсия ее определяется формулой (6.4.10), где следует положить