6.3. НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЙЕСОВСКИХ ОЦЕНОК

В предыдущем параграфе при рассмотрении точности алпроксимации байесовской оценки с помощью оценки максимального правдоподобия вычислялись средние потерн соответствующие байесовской оценке. Очевидно, если известна величина нетрудно получить байесовский риск (1.4.9)

Подставляя значения найденные в предыдущем параграфе, находим асимптотические значения байесовского риска для различных функций потерь. Однако в прикладных задачах удобнее оперировать со смещением и дисперсией оценки.

Применительно к приему известного сигнала смещение и дисперсию байесовской оценки для симметричных дифференцируемых функций потерь и достаточно больших отношений сигнал/помеха можно найти на основе асимптотического выражения Используя малый параметр представим величину в виде

Тогда, учитывая соотношение (3.1.8), байесовскую оценку при симметричной функции потерь и большом отношении сигнал/помеха можно записать как

Отсюда аналогично (3.1.14) и (3.1.15) находим условные (при фиксированном смещение и дисперсию байесовской оценки

Здесь определяются согласно (3.1.32).

Формулы упрощаются при оценке неэнергетического параметра:

где

Согласно (6.3.6) байесовская оценка неэнергетического параметра оказывается условно смещенной, в то время как ее предельная форма — оценка максимального правдоподобия — условно несмещенная.

Полагая, что априорная плотность вероятности и ее производные на концах интервала определения параметра I обращаются в нуль, из (6.3.6) и находим безусловные смещение и диспепсию байесовской оценки неэнергетического параметра

где

Так как из сравнения (6.3.9) и (3.1.48) следует, что всегда т. е. дисперсия байесовской оценки неэнергетического параметра не превышает дисперсии своей предельной формы — оценки максимального правдоподобия.

Рассмотренный метод определения характеристик байесовских оценок при больших отношениях сигнал/помеха может быть использован для определения характеристик оценки параметра узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой.

В частности, оценка незнергетического параметра безусловно несмещенная с безусловной дисперсией

Здесь определяется из (4.2.9).

Из сравнения полученных формул с соответствующими формулами для дисперсий оценок максимального правдоподобия следует, что при равномерном априорном распределении оцениваемого параметра дисперсии байесовских оценок и их предельные формы в рассматриваемом приближении совпадают. Кроме того, для любого априорного распределения, для которого характеристики байесовской оценки и эценки максимального правдоподобия совпадают в первом приближении. Это обстоятельство дополнительно указывает на возможность замены байесовской оценки оценкой максимального правдоподобия при достаточно больших отношениях сигнал/помеха.