9.4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРИЕМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ НА ФОНЕ ПОМЕХИ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ МОЩНОСТЬЮ

Если при приеме одиночного сигнала часто можно считать, как это предполагалось выше, что помеха является стационарной, то при приеме последовательности импульсов в ряде прикладных задач помеху нельзя полагать стационарным случайным процессом, хотя в течение времени приема одного импульса условия стационарности приближенно выполняются Простейшей моделью такой нестационарной помехи может служить случайный процесс, дисперсия которого, меняясь от одного периода повторения импульсов к другому, остается постоянной в течение времени приема одного импульса.

В этом параграфе будем полагать значения дисперсий помехи в каждом периоде повторения неизвестными. Для такой помехи систему оценки параметра можно получить, если производить измерение дисперсий помехи в каждом периоде повторения, и на основании полученных значений формировать функционал отношения правдоподобия оцениваемого параметра или его логарифм.

Рассмотрим вначале прием последовательности известных импульсов Пусть на вход приемного устройства в течение интервала времени поступает сумма реализаций

Каждая реализация принимается в течение времени Т — период повторения) и представляет собой аддитивную смесь вида (2.7.1), где элементарный сигнал, неизвестный параметр которого подлежит оценке, реализация нормальной помехи с нулевым средним значением и функцией корреляции

Таким образом, полагаем, что коэффициент корреляции помехи одинаков во всех периодах повторения, а дисперсия помехи изменяясь от одного периода повторения импульсов к другому, остается постоянной в течение времени приема одного импульса. Будем считать, что период повторения импульсов То много больше времени корреляции помехи

и, следовательно» помехи в различных периодах повторения независимы.

Ограничимся рассмотрением оценки неэнергетических параметров. При неизвестных значениях дисперсий помехи в различных периодах повторения наиболее просто оценка параметра I может быть получена с помощью приемного устройства, оптимального для приема пачки импульсов на фоне стационарной помехи. Оценка при этом определяется по положению абсолютного максимума функции

которую получаем, положив в Подставляя в (9.4.2) принимаемую сумму сигнала и помехи (2.7.1), можем записать

где определяется формулой а

Полагаем результирующее отношение сигнал/помеха для всей пачки импульсов большим, т. е. хотя отношение сигнал/помеха для одного импульса может быть малым. Тогда в первом приближении выражение для случайной ошибки измерения может быть записано в виде

Отсюда получаем, что оценка условно несмещенная, а дисперсия оценки находится из выражения

где

Из (9.4.4) и (3.2.13) следует, что в случае стационарной помехи

Так как приемное устройство (9.4.2) является оптимальным лишь для стационарной помехи, то можно ожидать, что эта оценка может быть улучшена. Другими словами, если помеха нестационарна, то, изменяя структуру приемного устройства, можно получить оценку с дисперсией, меньшей чем (9.4.4), и более близкой к дисперсии оптимальной оценки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях помехи (3.2.13). Поскольку величины в рассматриваемом случае неизвестны, то систему оценки параметра I можно -чить, заменив точные значения дисперсий некоторыми приближенными значениями, измеряемыми в течение времени приема импульса.

В качестве оценок неизвестных дисперсий помехи используем величины

Эти оценки несмещенные

и в силу условия распределение величии приближенно можно считать нормальным.

Учитывая, что опорный сигнал оптимального приемника согласно (2.3.10) обратно пропорционален дисперсии помехи, выходной сигнал приемника, использующего приближенные значения дисперсии помехи измеренные в каждом периоде повторения, можно записать в виде

Таким образом, выходные сигналы в каждом периоде повторения суммируются с весами, обратно пропорциональными дисперсиям помехи, измеренным в этих периодах повторения.

За оценку параметра 10 примем значение которое обращает выходной сигнал в абсолютный максимум. Как видно из структуры приемного устройства, для образования выходного сигнала необходимо время Полагая выполнение неравенства (9.2.8) и подставляя в (9.4.7) принятую смесь сигнала и помехи, при помощи формулы бинома можем записать

где

При этом для рассматриваемого неэнергетического параметра сигнала справедлива запись I)

Используя методику, описанную выше, можно получить выражение для первого приближения ошибки оценки и определить характеристики Оценки. Оказывается [148], что оценка параметра несмещенная, а дисперсия оценки равна

Здесь дисперсия оптимальной оценки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях помехи в каждом периоде повторения (3.2.13), а определяются выражениями

где энергия полезного сигнала в одном периоде повторения, а

— «коэффициент корреляции полезного сигнала», записанный в предположении, что период повторения значительно больше длительности одного импульса.

Из выражений для видно, что при эти величины стремятся к нулю и, следовательно, справедлива запись

т. е. приемное устройство (9.4.7) обеспечивает получение Оценок, дисперсия которых при стремится к дисперсии оптимальной Оценки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях помехи в различных периодах повторения.

Когда хотя бы одно значение формула (9.4.9) неверна, так как условие (9.2.8) не выполняется. Но если то согласно (9.4.6) и в выражении (9.4.7) можно отбросить слагаемые Тогда оценка будет зависеть только от слагаемого суммы (9.4.7), т. е. оценка будет производиться только по импульсу последовательности, принимаемому в отсутствие помехи, что приводит к точному измерению параметра Рассуждая аналогичным образом относительно приемника максимального правдоподобия (3.2.12), получаем, что если хотя бы одно значение то В то же время согласно

при 0, т. е. использование приемника, оптимального для приема на фоне стационарной помехи (9.4.2), не позволяет определить точное значение неизвестного параметра даже если один или несколько импульсов последовательности принимаются в отсутствие помехи.

Хотя приемное устройство (9.4.7), производящее измерение мощности помехи в каждом периоде, асимптотически оптимально, реализация его относительно сложна и применение ведет к увеличению времени обработки принимаемой смеси сигнал/помеха на время Поэтому в некоторых случаях (при неизвестных может оказаться более выгодным использование для получения оценки параметра приемного устройства (9.4.2), оптимального для приема пачки импульсов на фоне стационарной помехи. Очевидно, выбор между приемниками (9 4.2) зависит степени изменения мощности помехи от одного периода повторения к другому в конкретной ситуации.

Рассмотрим далее оценку иеэиергегического параметра при приеме последовательности узкополосных радиоимпульсов со случайными начальными фазами. Если элементарные сигналы последовательности являются узкополосными радиоимпульсами, то сигнал может быть записан в комплексной форме

Начальные фазы радиоимпульсов будем считать случайными и распределенными равновероятно в интервале

При когерентном приеме и неизвестных дисперсиях помехи для получения оценки можно воспользоваться приемным устройством, оптимальным для стационарной помехи. Оценка незнергетического параметра в этом случае будет определяться по положению абсолютного максимума функции

Здесь опорный сигнал при приеме на фоне помехи с единичной дисперсией, записанный в комплексной форме. Полагая отношение сигнал/помеха для принятой последовательности радиоимпульсов достаточно большим, как и для импульсов с известной фазой, находим, что оценка несмещенная, а дисперсия оценки определяется формулой

Здесь огибающая сигнальной функции для одного импульса на выходе оптимального приемника при помехе с единичной дисперсией.

При другом способе получения оценки параметра когерентной последовательности при неизвестных дисперсиях помехи в различных периодах повторения предполагается, что приемное устройство вырабатывает функцию

по положению абсолютного максимума которой находится оценка. В этом? выражении

Опять полагая находим, что сценка несмещенная, а дисперсия оценки равна

Здесь

дисперсия оптимальной оценки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях помехи (4.5.26).

Таким образом, оценка параметра при приеме когерентной последовательности радиоимпульсов при помощи алгоритма производящего измерение мощности помехи в каждом периоде повторения, несмещенная и обладает дисперсией, асимптотически равной дисперсии оптимальной оценки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях помехи, поскольку при и

При иекогерентиом приеме последовательности радиоимпульсов с независимыми случайными начальными фазами и малым отношением сигнал/помеха для одного импульса оценку при неизвестных дисперсиях помехи можно искать, используя приемник, оптимальный для стационарной помехи. В этом случае оценка определяется по положению абсолютного максимума функции

где

Если отношение сигнал/помеха для всей последовательности достаточно велико, то, как и выше, находим, что оценка несмещенная и обладает дисперсией

Здесь отношение сигнал/помеха для одного импульса при помехе с единичкой дисперсией,

Если при неизвестных значениях дисперсий помехи производить измерение в каждом периоде повторения, то оценку параметра I можно определить по положению абсолютного максимума функции

где находится согласно (9 4.17) При Татп получаем, что оценка в приемнике (9.4 22) несмещенная с дисперсией

Здесь дисперсия оптимальной оценки максимального правдоподобия при априори известных дисперсиях помехи (4.5 27); определяются выражениями (9.4.10) и (9.4.19) соответственно, а формулой (9.4 8).

Из формулы (9.4 23) следует, что при некогереитном приеме выполняется предельное соотношение

и, следовательно, приемное устройство имеет асимптотические характеристики такие же, как при оптимальной оценке максимального правдоподобия для априори известных дисперсий помехи

Более общей моделью нестационарной помехи является помеха, форма функции корреляции которой, изменяясь от одного периода повторения к другому, остается постоянной в течение приема одного импульса. Если вид функции корреляции помехи неизвестен, систему оценки параметра можем получить, восстанавливая в каждом периоде повторения неизвестную функцию корреляции помехи, например, по измерениям дисперсий производных помехи (§ 9.2), а затем формируя фунционал отношения правдоподобия последовательности импульсов, как это делалось выше для помехи с неизвестной мощностью. Анализ такой системы приема последовательности импульсов на фоне нестационарной помехи [110] показывает, что получаемые оценки являются асимптотически (с увеличением периода повторения импульсов) оптимальными. Поэтому при где время корреляции помехи в периоде повторения, характеристики оценки параметра последовательности импульсов совпадают с характеристиками оценки при априори известных функциях корреляции помехи