4.2. СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ НЕЗНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА РАДИОСИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

Получение приемлемых аналитических выражений для смещений и дисперсий оценок произвольных параметров радиосигналов с неравномерно распределенной начальной фазой не представляется возможным. В связи с этим рассмотрим более частные задачи вычисления смещения и дисперсии оценки:

— неэнергетического параметра сигнала с равномерно распределенной начальной фазой (второе приближение);

— энергетического параметра, входящего только в огибающую радиосигнала с равномерно распределенной начальной фазой (второе приближение);

— неэнергетнческого параметра радиосигнала с неравномерно распределенной начальной фазой (первое приближение).

Вычислим смещение и дисперсию оценки иеэиергетического параметра I при приеме узкополосного радиосигнала

начальная фаза которого случайна и распределена равновероятно на интервале . В этом случае отношение сигнал/ломеха а параметр А априорного распределения (2.5.9) следует положить равным нулю. Тогда выражение для функционала отношения правдоподобия значительно упрощается и принимает вид

где - выходной сигнал оптимального приемника, определяемый формулой (2.5.14),

Функционал отношения правдоподобия является монотонной функцией выходного сигнала оптимального приемника. Поэтому положение абсолютного максимума совпадает с положением абсолютного максимума Структуру оптимального устройства для нахождения оценки максимального правдоподобия неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой получаем, включив на выход оптимального приемника решающее устройство для определения положения абсолютного максимума огибающей В соответствии с этнм оценка максимального правдоподобия определяется решения уравнения

при условии, что решение уравнения ищется в окрестности абсолютного максимума и этот максимум расположен внутри априорного интервала значений оцениваемого параметра.

Подставим значения квадратурных составляющих (2.5.18) и (2.5.19) в выражение для

н введем в рассмотрение нормированные сигнальные и помеховые составляющие выходного сигнала оптимального приемника

Выражая выхюдной сигнал оптимального приемника (4.2.4) через нормированные функции, получаем

где

— нормированный выходной сигнал оптимального приемника.

Здесь

а функция определена в (2.5.30), причем для рассматриваемого иеэнергетического параметра в соответствии с (2.5.36)

Уравнение правдоподобия принимает вид

Приближенное решение этого уравнения будем искать в предположении больших отношений сигнал/помеха т. е. малых полагая, как и ранее, что аномальные ошибки отсутствуют. Разложим функцию в ряд Маклореиа по Отбрасывая члены разложения, содержащие и в более высоких степенях находим

где

Поскольку то в отсутствие помехи решение уравнения правдоподобия

совпадает с истинным значением параметра Поэтому приближенное решение уравнения можно отекать в виде (3.1.8),

Для определения приближений разложим функцию в квадратных скобках в ряд Тейлора по I в окрестности точки Подставляя в это разложение из (3.1.8) и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях получаем уравнения

В этих уравнениях учтено, что в силу все нечетные производные от в точке равны нулю. Решения уравнений определяют искомые приближения:

Здесь

Смещение и дисперсию оценки максимального правдоподобия неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой получаем, подставляя значения в (3,1,14) и (3,1,15). Используя (4.2.6), находим, что оценка несмещенная, а дисперсия оценки определяется выражением

Определяя моменты помеховьгх составляющих, входящие в выражение для дисперсии оценки параметра, используя (4.2.6) и учитывая что помеховые составляющие выходного сигнала оптимального приемника нормальные случайные процессы и для них справедливы соотношения, аналогичные (3.1.20) — (3.1,22), находим

В первом приближении, т. е. при оценка также будет несмещенной, а дисперсия ее будет равна

Вычисленные условные смещения и дисперсии оценка не зависят от истииных значений неизвестных параметров полезного сигнала. Поэтому они совпадают с соответствующими безусловными характеристиками оценки.

Если оцениваемый параметр I входит только в огибающую узкополосного радиосигнала без фазовой модуляции, то согласно (2.3.35) (2.5.15) и. где сигнальная функция при приеме сигнала с априори известной начальной фазой Это позволяет провести сравнение характеристик оценки параметра I, закодированного в огибающей сигнала с известной и случайной начальными фазами. Действительно, из

сравнения (4.2.19) и (3.1.48) находим, что дисперсии их связаны соотношением

Здесь дисперсия эффективной оценки параметра известного сигнала, совпадающая с первым приближением (3.1.46), Следовательно, начиная со второго приближения, всегда выполняется неравенство

т. е. дисперсия оценки незнергетического параметра, закодированного в огибающей радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой, всегда больше, чем дисперсия оценки того же параметра при приеме радиосигнала с известной начальной фазой. Это увеличение физически можно объяснить тем, что из-за незнания начальной фазы вместо когерентной обработки осуществляется нелинейная некогерентная обработка смеси сигнала и помехи. В результате такой обработки происходит «подавление» полезного сигнала помехой за счет появления дополнительных ее составляющих в (4.2.11).