Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1.2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА И ИХ СВОЙСТВАПри точечной оценке параметра I сигнала Из-за случайного характера точечной Оценки параметра сигнала на фоне помех ее характеризуют условной плотностью вероятности Плошосгь вероятности при за данном правиле оценки Для этого рассмотрим дискретное представление
а многомерная плотность вероятности случайных величин
Отсюда искомая плотность вероятности равна
Следует отметить, что непосредственное нахождение плотности вероятности В соответствии с определением смещение, рассеяние и дисперсия оценки определяются из следующих выражений:
В этих выражениях угловые скобки
Еслн оценка 7 формируется без учета априорной плотности вероятности
Поскольку условные и безусловные характеристики оценки здесь отличаются обозначениями, в дальнейшем, когда будет идти речь об одном каком-либо типе характеристик, термин «условная» может опускаться. Оценка параметра сигнала, для которой условное смещение равно нулю, называется условно несмещенной, т. е. в этом случае среднее значение оценки совпадает с истинным значением оцениваемого параметра: При совместной оценке нескольких параметров, например при оценке векторного параметра 1 с составляющими требуется знать статистическую связь между ошибками оценки. Для этой цели используются коэффициенты и функции взаимной корреляции оценок. Если обозначить оценки параметров
Из этих величин составляется матрица ошибок, причем величины по диагонали матрицы являются условными дисперсиями оценок. Полагая оцениваемые параметры независимыми и осуществляя усреднение условных функций взаимной корреляции оценок, получаем безусловные функции взаимной корреляции оценок. Сказанное выше относится и к условным коэффициентам взаимной корреляции оценок. Существует несколько подходов к вопросу о желательных свойствах точечных оценок, К их числу, как правило, относятся следующие свойства, сформулированные в терминах условных характеристик: 1. Естественно пытаться построить такую точечную оценку у, чтобы условная плотность вероятности I) была как можно более тесно сгруппирована вокруг значения I, 2. Весьма желательно, чтобы при длительном времени наблюдения 3. Оценка должна быть несмещенной или в крайнем случае асимптотически несмещенной, т. е. несмещенной при 4. Оценка должна характеризоваться минимальными значениями рассеяния или дисперсии (при нулевом или постоянном смещении). 5. Оценка должна обладать свойствами достаточности (являться достаточной статистикой). Статистика (в данном случае функция или функции наблюдаемых данных) является достаточной, если все суждения об оцениваемом параметре могут быть вынесены на основании этой статистики без дополнительного обращения к реализации принятых данных. Очевидно, что апостериорная плотность вероятности всегда является достаточной статистикой. Условие достаточности оценки можно сформулировать в терминах функции правдоподобия; необходимым и достаточным условием достаточности оценки является возможность представления функции правдоподобия в виде произведения двух функций
где При выполнении условия (1.2.9) апостериорная плотность вероятности (1.1.4) зависит от выборки X (при дискретной обработке) или реализации. Рассмотрим несколько подробнее желаемые свойства несмещенности и минимума рассеяния оценки, Прн этом здесь и далее корень квадратный из рассеяния оценки будем называть среднеквадратичной ошибкой оценки. Требование несмещенности или минимума смещения оценки тесно связано с требованием минимума дисперсии оценки. Какую оценку предпочесть: несмещенную, но с большей дисперсией или смещенную, но с меньшей дисперсией — зависит от того, для каких целей - ищется оценка. Так как смещение оценки является составной частью среднеквадратичной ошибки, то оно, как правило, может быть приемлемым до тех пор, пока мало по сравнению со среднеквадратичной ошибкой. Но когда, например, несколько равноценных оценок складываются независимо, то смещение остается постоянным, в то время как составляющая среднеквадратичной ошибки, обусловленная дисперсией оценки, уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа оценок. И этом случае среднеквадратичная ошибка полностью определяется смещением оценки. Вместе с тем не исключены случаи, когда за счет увеличения или сведения смещения оценки целесообразно уменьшить ее дисперсию. Наконец, следует отметить, что в ряде задач смещенную оценку можно сделать несмещенной. Например, если смещение оценки является линейной функцией истинного значения параметра Приведенные свойства оценки могут быть использованы для выработки критериев оценки.
|
1 |
Оглавление
|