1.2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА И ИХ СВОЙСТВА

При точечной оценке параметра I сигнала вынести решение (произвести оценку) - это значит каждой из возможных реализаций поставить в соответствие некоторую величину из интервала возможных значений оцениваемого параметра называемую точечной оценкой. Напомним, что под термином «оценка» понимается не только правило получения оценки, по и конкретное ее значение.

Из-за случайного характера точечной Оценки параметра сигнала на фоне помех ее характеризуют условной плотностью вероятности Это наиболее общая и полная характеристика оценки. Вид этой плотности вероятности определяет качество построения оценки и, следовательно, определяет все свойства оценки.

Плошосгь вероятности при за данном правиле оценки может быть получена из плотности вероятности реализации с помощью известного правила преобразования плотностей вероятности [27].

Для этого рассмотрим дискретное представление и введем новые переменные — причем будем полагать, что существует обратное однозначное преобразование Тогда якобиан преобразования от переменных к новым переменном равен

а многомерная плотность вероятности случайных величин имеет вид

Отсюда искомая плотность вероятности равна

Следует отметить, что непосредственное нахождение плотности вероятности во многих прикладных задачах весьма затруднительно. Поэтому если есть основания предполагать, что плотность вероятности унимодальна и близка к симметричной, то в качестве характеристик сгруппированности оценки у относительно значения I используют широко распространенные понятия смещения, рассеяния и дисперсии оценки, которые могут быть вычислены без непосредственного определения плотности вероятности

В соответствии с определением смещение, рассеяние и дисперсия оценки определяются из следующих выражений:

В этих выражениях угловые скобки как и ниже, означают усреднение случайной величины (или функции) по ее значениям (или реализациям), что тождественно соотношению.

Еслн оценка 7 формируется без учета априорной плотности вероятности то оценка и ее характеристики называются условными. Оценка, формируемая с учетом априорного распределения, называется безусловной. Безусловные характеристики оценки получаем, усредняя (1.2.2) — (1.2.4) по возможным значениям переменной I с априорным распределением т. е. безусловные смещение, рассеяние и дисперсия оценки определяются соответственно как

Поскольку условные и безусловные характеристики оценки здесь отличаются обозначениями, в дальнейшем, когда будет идти речь об одном каком-либо типе характеристик, термин «условная» может опускаться.

Оценка параметра сигнала, для которой условное смещение равно нулю, называется условно несмещенной, т. е. в этом случае среднее значение оценки совпадает с истинным значением оцениваемого параметра: Если равно нулю безусловное смещение, то оценка будет безусловно несмещенной, т. е. где априорное среднее значение параметра. Очевидно, если оценка условно несмещенная, то она будет и безусловно несмещенной. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Для практических приложений часто большее значение имеет условная несмещенность.

При совместной оценке нескольких параметров, например при оценке векторного параметра 1 с составляющими помимо введенных условных и безусловных смещений и дисперсий оценок

требуется знать статистическую связь между ошибками оценки. Для этой цели используются коэффициенты и функции взаимной корреляции оценок.

Если обозначить оценки параметров соответственно через то условные функции взаимной корреляции оценок параметров определятся как

Из этих величин составляется матрица ошибок, причем величины по диагонали матрицы являются условными дисперсиями оценок.

Полагая оцениваемые параметры независимыми и осуществляя усреднение условных функций взаимной корреляции оценок, получаем безусловные функции взаимной корреляции оценок.

Сказанное выше относится и к условным коэффициентам взаимной корреляции оценок.

Существует несколько подходов к вопросу о желательных свойствах точечных оценок, К их числу, как правило, относятся следующие свойства, сформулированные в терминах условных характеристик:

1. Естественно пытаться построить такую точечную оценку у, чтобы условная плотность вероятности I) была как можно более тесно сгруппирована вокруг значения I,

2. Весьма желательно, чтобы при длительном времени наблюдения или в отсутствие помех (отношение сигнал/помеха неограниченна возрастает) опенка совпадала с истинным значением оцениваемого параметра, В этом случае говорят, что оценка состоятельная.

3. Оценка должна быть несмещенной или в крайнем случае асимптотически несмещенной, т. е. несмещенной при -оо или при неограниченном увеличении отношения сигнал/шум.

4. Оценка должна характеризоваться минимальными значениями рассеяния или дисперсии (при нулевом или постоянном смещении).

5. Оценка должна обладать свойствами достаточности (являться достаточной статистикой).

Статистика (в данном случае функция или функции наблюдаемых данных) является достаточной, если все суждения об оцениваемом параметре могут быть вынесены на основании этой статистики без дополнительного обращения к реализации принятых данных. Очевидно, что апостериорная плотность вероятности всегда является достаточной статистикой. Условие достаточности оценки можно сформулировать в терминах функции правдоподобия; необходимым и достаточным условием достаточности оценки является возможность представления функции правдоподобия в виде произведения двух функций

где некоторая произвольная функция от не зависящая от оцениваемого параметра Так как параметр I не входит в функцию то ее нельзя использовать для получения информации о Множитель зависит от только через оценку так что в должна содержаться вся информация об оцениваемом параметре

При выполнении условия (1.2.9) апостериорная плотность вероятности (1.1.4) зависит от выборки X (при дискретной обработке) или реализации. (при непрерывной обработке) только через оценку

Рассмотрим несколько подробнее желаемые свойства несмещенности и минимума рассеяния оценки, Прн этом здесь и далее корень квадратный из рассеяния оценки будем называть среднеквадратичной ошибкой оценки.

Требование несмещенности или минимума смещения оценки тесно связано с требованием минимума дисперсии оценки. Какую оценку предпочесть: несмещенную, но с большей дисперсией или смещенную, но с меньшей дисперсией — зависит от того, для каких целей - ищется оценка.

Так как смещение оценки является составной частью среднеквадратичной ошибки, то оно, как правило, может быть приемлемым до тех пор, пока мало по сравнению со среднеквадратичной ошибкой. Но когда, например, несколько равноценных оценок складываются независимо, то смещение остается постоянным, в то время как составляющая среднеквадратичной ошибки, обусловленная дисперсией оценки, уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа оценок. И этом случае среднеквадратичная ошибка полностью определяется смещением оценки. Вместе с тем не исключены случаи, когда за счет увеличения или сведения смещения оценки целесообразно уменьшить ее дисперсию.

Наконец, следует отметить, что в ряде задач смещенную оценку можно сделать несмещенной. Например, если смещение оценки является линейной функцией истинного значения параметра где а и с — любые действительные числа и, следовательно, имеет место смещение, то, заменяя оценку получаем несмещенную оценку.

Приведенные свойства оценки могут быть использованы для выработки критериев оценки.