Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 3. ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА3.1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПАРАМЕТРАПри приеме на фоне нормальной помехи известного сигнала
где
Рис. 3.1.1. Структурная схема оптимальной оценки произвольного параметра. Из определения оценки максимального правдоподобия следует, что в случае, когда оценка
которое носит название уравнения правдоподобия. При этом из всех возможных решений уравнения следует выбрать значение Прежде всего будем полагать, что оценка параметра I производится при малом уровне помех, т. е. при больших значениях отношения сигнал/помеха, так что максимум максиморум логарифма функционала отношения правдоподобия Введем в рассмотрение нормированные сигнальную и помеховую составляющие логарифма функционала отношения правдоподобия;
Здесь
Остальные свойства введенных нормированных функций с точностью до множителя, обратного отношению сигнал/помеха, совпадают с ранее рассмотренными свойствами ненормированных сигнальной и помеховой функций (§ 2.4). Подставляя (3.1.3) в (3.1.1), приходим к выражению
Из этого уравнения следует, что при очень большом отношении сигнал/помеха для принятого сигнала в окрестности максимума функции При конечном отношении сигнал/помеха ошибки в определении истинного значения параметра будут отличны от нуля. Влияние помехи (при нормальных ошибках) сказывается на смещении максимума максиморума логарифма функционала отношения правдоподобия от истинного значения оцениваемого параметра. Для рассматриваемого случая нормальных ошибок отклонение оценки Все известные до сих пор приближенные способы решения нелинейного уравнения правдоподобия (3.1.2) основаны на разложении логарифма функционала отношения правдоподобия в ряд Тейлора. Приэтом наиболее продуктивное решение получается при использовании метода малого параметра [1, 83], в качестве которого удобно принять величину, обратную отношению сигнал/помеха по напряжению для принятого сигнала;
Подставляя (3.1.5) в (3.1.2) и используя введенную величину
Из этого выражения и приведенного выше обсуждения свойств логарифма функционала отношения правдоподобия следует, что при Для рассматриваемого случая «отсутствия» аномальных ошибок величина
Чтобы определить приближения
Введем обозначения
где функции
Сгруппируем члены в левой части (3.1.9), содержащие малый параметр
Поскольку система функций
и нулевое приближение совпадает с истинным значением параметра Приравнивая нулю коэффициенты при
С учетом первых трех приближений
причем здесь усреднение выполняется но всевозможным реализациям помехи
Соответственно при использовании лишь первого приближения (относительная погрешность порядка
Вычислим необходимые моменты случайных величин значением используем известные из теории случайных процессов соотношения [27]
которые потребуются в дальнейшем. С учетом последних соотношении искомые моменты равны
Используя полученные формулы для моментов, выражения для смещения (3.1.14) и дисперсии оценки (3.1.15) перепишем в виде
При использовании менее точных выражений (3.1.16) и
Наконец, в первом приближении (3.1.18) и (3.1.19) формула для дисперсии оценки совпадает с (3.1.30), а смещение оценки равно иулю. Моменты ломеховой функции, входящие в выражения для смещения и дисперсии оценки, легко выражаются через производные от нормированной сигнальной функции
Учитывая последнее и (2.4.6), можем записать
Вычислим производные от функций
Рассмотрим вначале вторую производную
Чтобы вычислить вторую производную от отношения сигнал/помеха
Следовательно,
Функцию 0 можно рассматривать как сложную функцию. Напомним соответствующее правило дифференцирования
Разложим функцию
Полагая в последнем выражении
Применяя правило дифференцирования (3.1.39) дважды и учитывая (3.1.35), находим
Подстановка этого соотношения в (3.1.34) приводит к выражению
Совершенно аналогично, последовательно применяя формулу (3.1.39), находим
Подставляя в формулы (3.1.28) и (3.1.29) значения моментов производных помеховой функции выраженные через производные сигнальной функции
Как следует из Для получения безусловных смещения и дисперсии оценки выражения для характеристик оценки надо усреднить по всевозможным значениям параметра Условные смещение и дисперсию оценки можно выразить через производные ненормированной сигнальной функции
Если ограничиться рассмотрением первого приближения, то оценка оказывается условно несмещенной, а дисперсия ее совпадает с дисперсией эффективной оценки и определяется выражением
Действительно, вычисляя среднее значение второй производной логарифма функционала отношения правдоподобия (3.1.5) в точке Полученные выше формулы для дисперсии оценки параметра сигнала позволяют достаточно строго обосновать возможность использования в качестве характеристики оценки максимального правдоподобия дисперсии эффективной оценки, хотя условия существования эффективной оценки не выполняются. В принципе рассмотренным способом можно было бы получить и следующие приближения для смещения и дисперсии оценки, причем, естественно, при уменьшении отношения сигнал/помеха требуется использовать приближения более высоких порядков. Однако определение следующих приближений требует весьма громоздких расчетов, которые не всегда целесообразно выполнять, так как с уменьшением отношения сигнал/помеха не только растет погрешность полученных выражений за счет отброшенных членов разложения С другой стороны, уже из анализа выражения (3.1.45) видно, что при не слишком больших отношениях сигнал/помеха второй и третий члены в фигурных скобках могут быть сравнимы с единицей. В этих случаях использование только первого приближения для вычисления дисперсии оценки максимального правдоподобия может привести к заниженным значениям дисперсии при анализе ошибок оценок параметра сигнала на фоне помех. Полученные выражения для смещения и дисперсии оценки максимального правдоподобия произвольного параметра применительно к оценке неэнергетического параметра можно существенно упростить, если учесть свойство четности сигнальной функции неэнергетического параметра (2.4.14). Введя новую переменную
В силу четного характера сигнальной функции В результате получаем, что
В силу четности сигнальной функции при оценке неэнергетического параметра производные от сигнальной функции не зависят от истинного значения параметра Из формулы (3.1.8), определяющей приближенное значение оценки произвольного параметра, следует, что в общем случае оценка максимального правдоподобия имеет распределение, отличное от нормального, так как в величины
то условное (при фиксированном аппроксимировать распределение оценки с достаточной точностью тремя членами ряда Эджворта, который запишем в виде [27]
где
— среднее значение случайной величины Будем искать условное (при фиксированном
Подставляя в последние выражения значения
В результате параметры плотности вероятности случайной ошибки измерения
где
Поскольку оценка максимального правдоподобия
|
1 |
Оглавление
|