Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 3. ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА3.1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПАРАМЕТРАПри приеме на фоне нормальной помехи известного сигнала
где
Рис. 3.1.1. Структурная схема оптимальной оценки произвольного параметра. Из определения оценки максимального правдоподобия следует, что в случае, когда оценка
которое носит название уравнения правдоподобия. При этом из всех возможных решений уравнения следует выбрать значение Прежде всего будем полагать, что оценка параметра I производится при малом уровне помех, т. е. при больших значениях отношения сигнал/помеха, так что максимум максиморум логарифма функционала отношения правдоподобия Введем в рассмотрение нормированные сигнальную и помеховую составляющие логарифма функционала отношения правдоподобия;
Здесь
Остальные свойства введенных нормированных функций с точностью до множителя, обратного отношению сигнал/помеха, совпадают с ранее рассмотренными свойствами ненормированных сигнальной и помеховой функций (§ 2.4). Подставляя (3.1.3) в (3.1.1), приходим к выражению
Из этого уравнения следует, что при очень большом отношении сигнал/помеха для принятого сигнала в окрестности максимума функции При конечном отношении сигнал/помеха ошибки в определении истинного значения параметра будут отличны от нуля. Влияние помехи (при нормальных ошибках) сказывается на смещении максимума максиморума логарифма функционала отношения правдоподобия от истинного значения оцениваемого параметра. Для рассматриваемого случая нормальных ошибок отклонение оценки Все известные до сих пор приближенные способы решения нелинейного уравнения правдоподобия (3.1.2) основаны на разложении логарифма функционала отношения правдоподобия в ряд Тейлора. Приэтом наиболее продуктивное решение получается при использовании метода малого параметра [1, 83], в качестве которого удобно принять величину, обратную отношению сигнал/помеха по напряжению для принятого сигнала;
Подставляя (3.1.5) в (3.1.2) и используя введенную величину
Из этого выражения и приведенного выше обсуждения свойств логарифма функционала отношения правдоподобия следует, что при Для рассматриваемого случая «отсутствия» аномальных ошибок величина
Чтобы определить приближения
Введем обозначения
где функции
Сгруппируем члены в левой части (3.1.9), содержащие малый параметр
Поскольку система функций
и нулевое приближение совпадает с истинным значением параметра Приравнивая нулю коэффициенты при
С учетом первых трех приближений
причем здесь усреднение выполняется но всевозможным реализациям помехи
Соответственно при использовании лишь первого приближения (относительная погрешность порядка
Вычислим необходимые моменты случайных величин значением используем известные из теории случайных процессов соотношения [27]
которые потребуются в дальнейшем. С учетом последних соотношении искомые моменты равны
Используя полученные формулы для моментов, выражения для смещения (3.1.14) и дисперсии оценки (3.1.15) перепишем в виде
При использовании менее точных выражений (3.1.16) и
Наконец, в первом приближении (3.1.18) и (3.1.19) формула для дисперсии оценки совпадает с (3.1.30), а смещение оценки равно иулю. Моменты ломеховой функции, входящие в выражения для смещения и дисперсии оценки, легко выражаются через производные от нормированной сигнальной функции
Учитывая последнее и (2.4.6), можем записать
Вычислим производные от функций
Рассмотрим вначале вторую производную
Чтобы вычислить вторую производную от отношения сигнал/помеха
Следовательно,
Функцию 0 можно рассматривать как сложную функцию. Напомним соответствующее правило дифференцирования
Разложим функцию
Полагая в последнем выражении
Применяя правило дифференцирования (3.1.39) дважды и учитывая (3.1.35), находим
Подстановка этого соотношения в (3.1.34) приводит к выражению
Совершенно аналогично, последовательно применяя формулу (3.1.39), находим
Подставляя в формулы (3.1.28) и (3.1.29) значения моментов производных помеховой функции выраженные через производные сигнальной функции
Как следует из Для получения безусловных смещения и дисперсии оценки выражения для характеристик оценки надо усреднить по всевозможным значениям параметра Условные смещение и дисперсию оценки можно выразить через производные ненормированной сигнальной функции
Если ограничиться рассмотрением первого приближения, то оценка оказывается условно несмещенной, а дисперсия ее совпадает с дисперсией эффективной оценки и определяется выражением
Действительно, вычисляя среднее значение второй производной логарифма функционала отношения правдоподобия (3.1.5) в точке Полученные выше формулы для дисперсии оценки параметра сигнала позволяют достаточно строго обосновать возможность использования в качестве характеристики оценки максимального правдоподобия дисперсии эффективной оценки, хотя условия существования эффективной оценки не выполняются. В принципе рассмотренным способом можно было бы получить и следующие приближения для смещения и дисперсии оценки, причем, естественно, при уменьшении отношения сигнал/помеха требуется использовать приближения более высоких порядков. Однако определение следующих приближений требует весьма громоздких расчетов, которые не всегда целесообразно выполнять, так как с уменьшением отношения сигнал/помеха не только растет погрешность полученных выражений за счет отброшенных членов разложения С другой стороны, уже из анализа выражения (3.1.45) видно, что при не слишком больших отношениях сигнал/помеха второй и третий члены в фигурных скобках могут быть сравнимы с единицей. В этих случаях использование только первого приближения для вычисления дисперсии оценки максимального правдоподобия может привести к заниженным значениям дисперсии при анализе ошибок оценок параметра сигнала на фоне помех. Полученные выражения для смещения и дисперсии оценки максимального правдоподобия произвольного параметра применительно к оценке неэнергетического параметра можно существенно упростить, если учесть свойство четности сигнальной функции неэнергетического параметра (2.4.14). Введя новую переменную
В силу четного характера сигнальной функции В результате получаем, что
В силу четности сигнальной функции при оценке неэнергетического параметра производные от сигнальной функции не зависят от истинного значения параметра Из формулы (3.1.8), определяющей приближенное значение оценки произвольного параметра, следует, что в общем случае оценка максимального правдоподобия имеет распределение, отличное от нормального, так как в величины
то условное (при фиксированном аппроксимировать распределение оценки с достаточной точностью тремя членами ряда Эджворта, который запишем в виде [27]
где
— среднее значение случайной величины Будем искать условное (при фиксированном
Подставляя в последние выражения значения
В результате параметры плотности вероятности случайной ошибки измерения
где
Поскольку оценка максимального правдоподобия
|
1 |
Оглавление
|