3.5. ОЦЕНКИ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫ, ЧАСТОТЫ, ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ СИГНАЛА

Для иллюстрации полученных выше результатов рассмотрим несколько конкретных примеров.

1. Оценка начальной фазы узкополосного радиосигнала. Полезный уэкополосный радиосигнал на входе приемного устройства представим в виде

где - неизвестная начальная фаза. Учитывая (2.3.35), сигнальную функцию (2.4.1) запишем как

Здесь отношение сигнал/помеха не зависит от конкретного значения оцениваемого параметра, т. е. начальная фаза является неэнергетическим параметром. Тогда согласно § 3.1 оценка максимального правдоподобия начальной фазы несмещенная, а дисперсия, определяемая из (3.1.48), равна

Из этого примера видно, что сигнальная функция, а следовательно, и дисперсия оценки начальной фазы не зависят от вида амплитудной модуляции.

Оценка максимального правдоподобия начальной фазы в явном виде может быть найдена из решения уравнения (3.1.2)

Структурная схема измерителя начальной фазы представлена на рис. 3.5.1. Аддитивная смесь сигнала и помехи подается на два умножителя (смесителя), на вторые входы которых поступают сигналы от когерентного гетеродина со сдвигом фазы один относительно другого на Затем сигналы интегрируются в течение времени и поступают на делитель. На выходе делителя получается тангенс оцениваемой фазы, значение которого через преобразователь переводится в оценку фазы

Рис. 3.6.1. Структурная схема оптимальной оценки начальной фазы радиосигнала.

Если в выражения для подставить принимаемую сумму сигнала и помехи, то нетрудно убедиться, что некоррелированные нормальные случайные величины со средними значениями соответственно и дисперсиями Для данного случая можно записать точное выражение для условной плотности вероятности оценки начальной фазы [27]

Используя эту плотность вероятности, можно найти точное значение дисперсии оценки начальной фазы

где — гамма-функция; вырожденная гипергеометрическая функция. Отметим, что так как оценка максимального правдоподобия начальной фазы условно несмещенная, то дисперсия оценки совпадает С рассеянием оценки.

На рис. 3.5.2 приведены зависимости дисперсии оценки начальной фазы от величины отношения сигнал/помеха Кривая 1 представляет точное значение дисперсии оценки, кривые 2 и 3 — соответственно значения дисперсии оценки с учетом второго приближения и дисперсии оценки с учетом только первого приближения. Кривые позволяют оценить степень точности приближенного решения уравнения правдоподобия методом малого параметра при использовании первого и второго приближений.

Рис. 3.5.2. Зависимости диспсрсик оценки начальной фазы от отношения сигнал/помеха.

2. Оценка частоты узкополосного радиосигнала. При приеме прямоугольного радиоимпульса

на фоне белого шума со спектральной плотностью и при оцениваемом параметре — частоте сигнальная функция согласно (2.4.1) имеет вид

где а отношение сигнал/помеха т. е. частота является неэнергстичесим параметром. Следовательно, оценка максимального правдоподобия параметра будет несмещенной, а дисперсия оценки находится из формулы (3.1.48);

Из этой формулы видно, что второй член в скобках, учитывающий второе приближение, при не очень больших значениях отношения сигнал/помеха может гиметь существенное значение и его необходимо учитывать при определении дисперсии оценки частоты.

3. Оценка временного положения колокольного видеоимпульса. Получим характеристики оценки максимального правдоподобия временного положения то сигнала

при оптимальном приеме на фоне белого шума спектральной плотностью Параметр характеризует быстроту убывания (длительность) полезного сигнала. Действительно, величина равна длительности сигнала по уровню от максимума. Будем полагать, что принимаемый полезный сигнал практически находится внутри интервала наблюдения Поэтому, заменяя в выражении для сигнальной функции (2.4.1) пределы интегрирования на бесконечные и учитывая (2.3.3), получаем

где отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности белого шума. Поскольку в данном случ то — неэнергетический параметр, то его оценка максимального правдоподобия будет несмещенной, а дисперсия оценки (3.1.48) равна

Найдем параметры (3.1.50) распределения оценки временного положения . В силу того, что параметр неэнергетический, .

Подставляя значение нормированной сигнальной функции в (3.1.52), получаем

Отсюда согласно (3.1.50) получаем приближенное выражение для плотности вероятности ошибки оптимальной оценки параметра

На рис. 3.5.3 приведены кривые плотности распределения случайной ошибки измерения временного положения отнесенной к длительности сигнала. Кривые построены для различных отношений сигнал/помеха по мощности На этом же рисунке для сравнения ттрихом нанесены плотности вероятности случайной ошибки измерения Для эффективной оценки, или, что то же самое, для первого приближения, когда

Рис. 3.5.3. Плотности эероятности ошибки оценки временного положения.

Из рассмотрения кривых рис. 3.5.3 следует, что вычисленное распределение оценки максимального правдоподобия незначительно отличается от распределения эффективной оценки, хотя при отношении сигнал/помеха порядка 10 дисперсия оценки максимального правдоподобия оказывается на 3.0% больше дисперсии эффективной оценки. Увеличение дисперсии оценки максимального правдоподобия не очень больших отношениях сигнал/помеха по сравнению с дисперсией эффективной оценки вызывает «расширение» лика плотности распределения. Однако наличке положительного эксцесса частично компенсирует это

расширение и обусловливает близость распределения оценки максимального правдоподобия к распределению эффективной оценки.

Пусть сигнал (3.5.8) принимается на фоне помехи с экспоненциальной функцией корреляции (2.3.4) (энергетический спектр определяется (2.3.4а)). Если определить эффективную полосу энергетического спектра помехи как

то для рассматриваемой помехи получим

Учитывая (2.3.6), выражение для сигнальной функции (2.4.1) можно представить в виде

Здесь

— удвоенное отношение энергии сигнала к эквивалентной спектральной плотности помехи на единицу эффективной ширины спектра помехи.

Подставляя (3.5.12) в (3.1.46), находим формулу для дисперсии оценки временного положения колокольного видеоимпульса на фоне помехи с экспоненциальной функцией корреляции

При т. е. если осуществляется предельный переход к широкополосной помехе (белому шуму) таким образом, что то а формула для дисперсии оценки совпадает с первым приближением (3.59). При сужении спектра помехи дисперсия оценки также стремится к нулю. Это объясняется тем, что при спектр помехи сосредоточивается около нулевой частоты, и при соответствующей фильтрации такая помеха практически не мешает точному измерению положения максимума выходного сигнала.

Найдем соотношения между спектральными характеристиками помехи и сигнала (при при которых дисперсия оценки временного положения максимальна. Максимизируя (3.5.13) по а, получаем, что дисперсия оценки максимальна, если

На рис. 3.5.4 приведена зависимость нормированной дисперсии оценки параметра от отношения эффективных полос энергетических спектров помехи и сигнала

где максимальное значение дисперсии оценки временного положения равно

На рис. 3.5.5, приведено несколько нормированных сигнальных функций

для ряда значений параметров

4. Оценка длительности колокольного видеоимпульса. При нахождении статистических характеристик оценки максимального правдоподобия длительности сигнала (3.5.8) будем полагать, что временное положение сигнала известно точно, а сам сигнал находится внутри интервала наблюдения.

Рис. 3.5.4. Зависимость нормированной дисперсии оценки временного положения от

Рис. 3.5.5. Нормированная сигнальная функция

Если прием сигнала производится на фоне белого шума со спектральной плотностью то сигнальная функция согласно (2.4.1) и (2.3.3) определяется выражением

Подставляя это выражение в (3.1.44) и (3.1.45), получаем условные смещение и дисперсию оценки длительности

По формулам (3.1.52) находим остальные параметры распределения случайной ошибки оценивания

На рис. 3.5.6 построены кривые плотности вероятности относительной ошибки оценки длительности для различных значений отношения сигнал/помеха Штрихом нанесены плотности вероятности ошнбкн эффективной оценки, для которой а дисперсия совпадает с первым приближением дисперсии (3.5.15). В отличие от оценки временного положения распределение оценки длительности несимметрично, так как коэффициент асимметрии этого распределения положителен. Максимум плотности вероятности смещен влево от среднего значения оценки, но среднее значение расположено справа от нстниного значения параметра . В результате этого распределение незначительно отличается от распределения эффективной оценки.

Пусть оценка длительности сигнала производится на фоне помехи с экспоненциальной функцией корреляции Учитывая (2.3.6), для сигнальной функции находим

Рис. 3.5.6. Плотности вероятности ошибки оценки длительности сигнала.

Вычисляя необходимые производные от сигнальной функции и подставляя их в и (3.1.45), получаем выражения для смещения и дисперсии оценки длительности

На рис. 3.5.7 и 3.5.8 приведены зависимости относительных смещения и дисперсии оценки от отношения эффективных полос энергетических спектров помехи и сигнала и различных значениях величины. Из кривых следует, что смещение оценки длительности достигает максимума при наибольшей скорости увеличения дисперсии. В интервале смещение и дисперсия оценки практически не зависят от соотношения между шириной спектров сигнала и помехи и совпадают с формулами для смещения и дисперсии оценки длительности на фоне белого шума, если положить так что . В интервале смещение и дисперсия оценки резко убывают с уменьшением

Применительно к рассмотрению первого приближения смещение оценки равно нулю, а дисперсия оценки

Максимизируя это выражение по а получаем, что дисперсия оценки достигает максимального значения

На рис. 3.5.9 приведена зависимость нормированной дисперсии оценки от величины а на рис. 3.5.10 представлено несколько нормированных функций

представляющих собой детерминированную составляющую логарифма функционала отношения правдоподобия («выходной сигнала) при оценке длительности колокольного видеоимпульса на фоне рассматриваемой помехи.

Рис. 3.5.7. Зависимость смещения оценки длительности сигнала от

Рис. 3.5.8. Зависимость дисперсии оценки длительности сигнала от

Рис. 3.5.9. Зависимость нормированной дисперсии оценки длительности сигнала

Рис. 3.5.10, Нормированные функции

Кривые 1, 3 относятся соответственно к величинам

5. Совместная оценка начальной фазы и смещения частоты прямоугольного радиоимпульса

при приеме на фоне белого шума. Применительно к оценке двух параметров сигнальная функция согласно (2.4.4) определяется выражением

Вычисляя в соответствии с необходимые производные от сигнальной функции, убеждаемся, что оценки несмещенные, а

дисперсии и коэффициент корреляции оценок равны

Из сравнения этих формул с первыми приближениями раздельных оценок начальной фазы (3.5.3) и частоты (3.5.7) нетрудно видеть, что за счет корреляции оценок их дисперсии при совместной оценке увеличиваются в четыре раза.

6. Совместная оценка амплитуды и длительности колокольного видеоимпульса

на фоне белого шума. Полагаем, что импульс полностью расположен внутри интервала наблюдения. Тогда сигнальная функция параметров согласно равна

где отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности белого шума. Вычисляя производные от сигнальной функции в точке согласно (3.3.13) — (3.3.18), имеем выражения для смещений, дисперсий и коэффициента корреляции оценок амплитуды и длительности колокольного видеоимпульса

Для сравнения полученных результатов с характеристиками раздельных оценок выражение (3.4.5) представим в виде

Тогда из (3.5.23), (3.5.24) и (3.5.15) видим, что за счет корреляции оценок оценка амплитуды смещенная, смещение оценки длительности увеличивается в три раза, а дисперсии оценок амплитуды и длительности увеличиваются в полтора раза.

7. Совместная оценка временного положения и длительности колокольного видеоимпульса при приеме на фоне белого шума. Как и выше, полагаем, что сигнал расположен внутри интервала наблюдения. Тогда сигнальная функция параметров имеет вид

Выполняя дифференцирование и подставляя значения производных от сигнальной функции в (3.3.13) — (3.3.18), убеждаемся, что оценки не коррелированы, а их статистические характеристики совпадают с первыми приближениями соответствующих характеристик раздельных оценок временного положения и длительности, полученных в примерах пп. 3 и 4.