10.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА

Полагаем, что в течение интервала на вход приемного устройства поступает сумма известного сигнала и помехи

где нормальная помеха с нулевым средним значением и функцией корреляции

Приемное устройство для получения оценки максимального правдоподобия должно вырабатывать логарифм функционала отношения правдоподобия (3.1.1), где опорный сигнал определяется из уравнения При недостаточной априорной информации о характеристиках сигнала и помехи оценку неизвестного параметра можно искать по положению абсолютного максимума функции

Здесь опорный сигнал местного гетеродина в отличие от опорного сигнала оптимального приемника имеет форму, не согласованную со статистикой помехи и формой принимаемого сигнала. Форма неоптимального опорного сигнала может выбираться на основе

каких-либо предварительных предположений о свойствах помехи, а также условия достаточной простоты технической реализации приемника. Функция представляет собой ожидаемый полезный сигнал, причем в общем случае

Так как по определению оценки функция при обращается в абсолютный максимум, оценка является решением уравнения

при условии При этом следует использовать корень уравнения, соответствующий максимуму максиморуму функции

Для получения приближенного решения уравнения воспользуемся методом малого параметра, полагая при этом, что уровень помехи мал, так что выполняются условия надежной оценки. Подставим в выражение для значение и введем обозначения аналогично обозначениям § 2.4:

Тогда выходной сигнал приемника можно записать в виде

Функция представляет собой, как и выше, полезный сигнал на выходе приемника, соответственно детерминированная и помеховая составляющие на выходе приемника. Необходимо отметить, что при неоптимальном приеме функция в общем случае не обладает симметрией, , а помеха на выходе приемного устройства и в данном случае будет нормальным случайным процессом с нулевым средним значением и функцией корреляции

С помощью введенных обозначений уравнение для нахождения оценки перепишем в виде

При этом в отсутствие помехи абсолютный максимум функции в общем случае достигается в некоторой точке определяемой из уравнения

Полагая, что значение I лежит близко от приближенное значение отклонения максимума функции от точки истинного значения оцениваемого параметра в первом приближении можно получить, разложив в ряд Тейлора в окрестности точки и ограничившись гремя первыми членами этого разложения. В результате получим

Введем в рассмотрение малый (в предполагаемых условиях) параметр и используем описанную выше методику получения приближений оценки и ее статистических характеристик. Смещение и дисперсия оценки параметра во втором приближении определяются формулами

где

Если ограничиться рассмотрением первого приближения, то выражения для смещения и дисперсии оценки упрощаются и принимают вид

Выражения для смещения и дисперсии оценки при неоптимальном приеме можно упростить, если оцениваемый параметр I является неэнергетическим, а помеха - стационарный случайный процесс. В этом случае аналогично § 2.4 помеха на выходе неоптимальяого приемника является также стационарным процессом, при При этом формулы для смещения (10.2.6) и дисперсии (10.2.7) оценки можно переписать в виде

При априори известной форме полезного сигнала в качестве приемного устройства часто используется приемник, оптимальный для помехи виде белого шума с односторонней спектральной плотностью . В этом случае опорный сигнал местного гетеродина определяется формулой (2.3.3). Полагая в (10.2.2) находим структуру приемника, определяемую выражением

Очевидно, приемное устройство представляет собой частный случай произвольного неоптимального приемника (10.2.2). Поэтому характеристики Оценки, получаемой с помощью (10.2.12), найдем подставнз в (10.2.6) и (10.2.7) значения детерминированной составляющей выходного эффекта приемника

где

и функцию корреляции помеховой составляющей

Функция совпадает с функцией при приеме сигнала на фоне белого шума и достигает абсолютного максимума при так что при использовании приемника (10.2.12) справедлива запись Вычисляя аналогично § 3.1 необходимые производные от функции находим характеристики оценки произвольного параметра во втором приближении при использовании приемника, оптимального для

помехи в виде белого шума:

Здесь определяются, как и выше, при подстановке из

Применительно к первому приближению оценка несмещенная, а дисперсия оценки определяется формулой

Прн оценке неэнергетического параметра, в силу четности функций втором приближении оценка параметра не смещенная, а днсперсня оценки равна

Возможна также ситуация, когда функция корреляции помехи априори задана, а точная форма полезного сигнала полностью или частично неизвестна. В этом случае для приема реального сигнала может быть использовано приемное устройство, оптимальное для некоторого ожидаемого сигнала причем Структура такого приемника, неоптимального для сигнала но оптимального для определяется формулой (10.2.2), в которой функция находится решения интегрального уравнения

аналогичного Характернстики оценки при этом могут быть найдены из (10.2.6) и (10.2.7), где следует положить

Наконец, если априори известны форма полезного сигнала и функция корреляции помехи то, полагая в полученных выше выражениях

приходим к формулам, выведенным в для оптимальной оценки максимального правдоподобия.

Все результаты этого параграфа получены в предположении, что помехой является нормальный случайный процесс. Если на вход приемного устройства, выполняющего операцию (10.2.2), поступает помеха произвольным распределением и заданной функцией корреляции для вычисления первых приближений характеристик оценки параметра сигнала могут быть использованы формулы (10.2.8) и Действительно, при заданной структуре приемного устройства, для вычисления смещения и дисперсии оценки в первом приближении достаточно найти лишь первые два момента помеховой функции

Это можно сделать, если известна функция корреляции помехи на входе приемного устройства. Однако в данном случае нельзя говорить о близости оценки к ее оптимальному значению.