5.3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ОЦЕНКИ. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Один из приближенных способов вычисления вероятности оценкн основан на том, что рассматривается не сам логарифм функционала отношения правдоподобия как непрерывная функция оцениваемого параметра, а лишь значения точках Здесь интервал выбирается таким, чтобы значения были статистически независимыми и одна из точек (например, совпадала с истинным значением параметра Общее число точек, в которых рассматривается функция равно При таком дискретном представлении, очевидно, вероятность надежной оценкн можно записать как

Соответственно вероятность ненадежной оценки, т. е. вероятность появления аномальной ошибки будет равна

Обозначим через плотности вероятности распределения логарифма функционала отношения правдоподобия, образованного соответственно суммой сигнала и помехи и только помехой. Тогда вероятность того, что логарифм функционала отношения правдоподобия точке, которая соответствует наличию сигнала, будет больше любого из значений в остальных точках, обусловленных наличием только помехи, равна

где

Используя введенное здесь определение вероятности аномальной ошибки, можно найтн верхнюю границу для нее. Действительно, случайное событие, состоящее в появлении аномальной ошибки, можно рассматривать как сумму случайных событий, имеющих место при выполнении неравенств:

Эти случайные события в общем случае совместимы. Известно, что вероятность суммы случайных совместимых событий меньше или равна сумме вероятностей этих событий и, следовательно

где

Обозначим верхнюю границу для вероятности аномальной ошибки как

Формула (5.3.6) оказывается полезной, если в (5.3.3) не удается выполнить интегрирование. Учитывая связь между вероятностью аномальной ошибки и вероятностью надежной оценки можем записать

т. е. используя можем оцеинть надежность снизу.

Оценить погрешность в определении при замене непрерывной функции ее дискретными значениями затруднительно. При подобном искусственном сведении аналоговой системы оценки к дискретной существует определенный произвол а выборе интервала дискретизации Кроме того, возможны ситуации, когда аномальной ошибке при дискретном представлении соответствует нормальная ошибка при непрерывном представлении и наоборот [5].

Таким образом, можно ожидать, что в общем случае метод дискретного представления логарифма функционала отношения правдоподобия приводит к результатам, верным лишь качественно.

Найдем вероятность при оценке произвольного параметра известного сигнала на фоне нормальных стационарных помех. Логарифм функционала отношения правдоподобия согласно (2.4.10) и (2.4.11) (для принятых условий относительно выбора величины и совпадения с точках можем записать в виде

При этом нормальные независимые случайные величины со средними значениями

и дисперсиями Поэтому для распределений, входящих в (5.3.3), можем записать соответственно

где - интеграл вероятности (3.1.51).

Подставляя (5.3.12) в (5.3.3), после замены переменной интегрирования получаем приближенное представление для вероятности надежной оценки

-где

Интеграл (5.3.13) в общем случае не вычисляется аналитически. Поэтому для определения кроме численных методов можно использовать различные приближенные формулы. Ориентировочно оценим величину с помощью ее нижней границы (5.3.9), определяемой через верхнюю границу для вероятности аномальной ошибки (5.3.8). Вероятности в этом выражении определяются как

Так как случайные величины нормальные, разность также нормальная случайная величина со средним значением и дисперсией Отсюда нетрудно получить, что вероятность определяется выражением

а верхняя граница для вероятности аномальной ошибки равна

Поскольку интеграл вероятности есть монотонно возрастающая функция, то можем записать, что

где для всех значений I из априорного интервала Полученная верхняя граница справедлива для всех величин истинного значения параметра Используя эту границу, для грубой оценки вероятности аномальной ошибки можем записать

Если учесть, что для всех справедлива запись [5]

то верхнюю границу для вероятности аномальной ошибки получаем в виде

Так как то для вероятности надежной оценки имеем простое выражение, определяющее нижнюю границу:

Отметим, что точность верхней границы (5.3.21) возрастает с увеличением аргумента интеграла вероятности.

Если оцениваемый параметр I является неэнергетическим, то формула для вероятности надежной Оценки (5.3.13) несколько упростится:

В этом случае вероятность надежной оценки не зависит от истинного значения оцениваемого параметра, а в выражении для верхней границы (5.3.8) все вероятности будут равны. Вероятность аномальной ошибки при этом будет ограничена сверху величиной

Так же как в (5.3.13), интеграл удается вычислить лишь численными методами. Однако если количество независимых отсчетов велико, то для приближенного вычисления можно использовать аппроксимацию подынтегральной функции в квадратных скобках в виде [2]

где определяется из условия

или

В результате выражение для вероятности надежной оценкн неэнергетического параметра известного сигнала можно переписать как

Из этой формулы следует, что при вероятность надежной оценки стремится к единице. При в силу стационарности помеховой функции появление максимального выброса в любом из отсчетов логарифма функционала отношения правдоподобия равновероятно, и поэтому при любом В этом легко убедиться, производя в (5.3.23) замену переменных полагая и вычисляя получившийся элементарный интеграл.

Определим надежность оценки неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала с равномерно распределенной начальной фазой. В этом случае выходной сигнал оптимального приемника может быть записан в виде Так как квадратурные составляющие входящие в (2.5.14), являются независимыми нормальными случайными величинами, то плотности вероятности в точках описываются соответственно распределениями Райса и Релея [27]

Подставляя выражения в (5.3.3), получаем формулу для вероятности надежной оценки неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала с равномерным априорным распределением начальной фазы

Для дальнейших преобразований учтем, что

где

— биномиальные коэффициенты. Используя интеграл

формулу для надежности оценки можно переписать как

В случае больших точные вычисления по этой формуле весьма трудоемки. Однако при больших переход функции нуля к единице становится весьма резким, поэтому эту функцию можно аппроксимировать ступенчатой функцией [2]

Здесь определяется из уравнения

Решая это уравнение относительно находим

Подставляя в (5.3.28), имеем

Из рассмотрения последней формулы видно, что она совпадает с известной формулой для вероятности правильного обнаружения узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой, если в качестве порога принять величину [27]. Выражение для порога можно упростить, так как при

Отсюда

Вводя нормированную переменную получаем

где

В работе [2] показано, что при погрешность определения вероятности по приближенным формулам (5.3.32) и (5.3.33) по сравнению с вычислением по точной формуле (5.3.28) практически незаметна.

Хотя полученные выше выражения для надежности оценки параметра узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой являются приближенными, тем не менее они позволяют качественно оценить влияние на надежность оценки отношения сигнал/помеха и априорной информации о начальной фазе.

На рис. 5.3.1 приведены зависимости вероятности надежной оценки неэиергетического параметра от отношения сигнал/помеха для трех

значений Сплошные кривые представляют надежность опенки при приеме известного сигнала, штрихом нанесены зависимости для узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой. Из приведенных кривых видно, что в области малых значений вероятность появления абсолютного максимума вдали от истинного значения параметра достаточно велика. При этом, так же как и при приеме известного сигнала, для радиосигнала со случайной начальной фазой при

При использовании дискретного представления логарифма функционала отношения правдоподобия для приближенного вычисления вероятности надежной оценки число дискрет бралось равным где расстояние между дискретами должно выбираться на основании двух противоречивых требований. Во-первых, должно быть достаточно велико, чтобы отсчеты были статистически независимы. Во-вторых, величину надо выбирать как можно меньшей, чтобы используемые дискреты воспроизводили логарифм функционала отношения правдоподобия с наибольшей точностью. Естественно, удовлетворить обоим этим условиям невозможно. Поэтому указать какое-либо общее правило определения величины пригодное во всех случаях, затруднительно. Тем не менее если оцениваемый параметр является неэнергетическим и сигнальные функции имеют вид для детерминированного сигнала и Для узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой, то величину можно определять как интервал корреляции для соответствующего случайного процесса. Например, можно положить

для детерминированного сигнала и

для узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой. Здесь

Рис. 5,3.1. Зависимость вероятности надежной оценки от отношения сигнал/помеха.