Глава 6. БАЙЕСОВСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРА СИГНАЛА

6.1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ МАЛЫХ ОТНОШЕНИЯХ СИГНАЛ/ПОМЕХА

В соответствии с определением, приведенным в § 1.4, байесовская юценка это оценка, которая минимизирует безусловный средний риск (1.4.8) при заданной функции потерь Байесовская оценка находится минимизацией апостериорного риска (1.4.11) при каждой фиксированной реализации наблюдаемых данных. В общем случае апостериорный риск является нелинейной функцией оценки, что затрудняет анализ байесовских оценок. Однако для ряда функций потерь характеристики байесовской оценки могут быть получены относительно просто в случае весьма малых и весьма больших отношений сигнал/помеха. Рассмотрим в этом параграфе случай малых отношений сигнал/помеха.

Положим, что полезный сигнал принимается на фоне аддитивной нормальной помехи и кроме неизвестного неэнергетического параметра подлежащего оценке, содержит два неизвестных параметра, в оценке которых нет необходимости (сопровождающие параметры): некоторый неэнергетический параметр и амплитуду с ограниченным средним квадратом. При этом априорные плотности вероятности неизвестных параметров обозначим Тогда апостериорную плотность вероятности оцениваемого параметра можно записать согласно соотношениям (1.1.11), (1.1.12) и (2 2.8) в виде

где, как и выше, отношение сигнал/помеха для сигнала с единичной амплитудой, решение

уравнения (2.2.7) для сигнала с единичной амплитудой Отсюда и из (1.4.12) получаем уравнение для определения байесовской оценки

Здесь

— ранее введенные (см § 3.1) нормированные сигнальная и помеховая функции При этом из всех возможных решений уравнения (6.1.2) байесовской Оценке соответствует решение, которое определяет положение наименьшею (абсолютного) минимума функции

Из выражения для функции следует, что при очень малых отношениях сигнал/помеха экспонента практически равна единице, и поэтому байесовская оценка совпадает с положением абсолютною минимума функции

При конечных значениях отношения сшнал/помеха разность будет отлична от нуля Близость при позволяет найти характеристики оценки, определив отклонение от 70 в виде соответствующих приближении, а следовательно, и отклонение от истинного значения оцениваемого параметра так как в общем случае

Рассматривая при фиксированном у как функцию разложим ее в ряд Маклорена по Отбрасывая члены разложения порядка малости и менее, получаем уравнение (6 12) в виде

где

Так как для то при приближенное решение уравнения можно искать в виде

Разложим функцию в квадратных скобках в (6.1.5) в ряд Тейлора по у в окрестности точки подставим в это разложение значение и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях Решая, полученные таким образом уравнения относительно имеем

Подставляя эти соотношения в (6.1.6), получаем значение байесовской оценки неэнергетического параметра с точностью до величин порядка малости

Качество байесовской оценки характеризуется байесовским риском который для рассматриваемой задачи в соответствии с и (6.1.1) равен

Здесь усреднение выполняется по реализациям помехи и по значениям параметров Для выполнения усреднения разложим, функцию в ряд морена:

Вычисляя производные и выполняя усреднения, можем записать

где

Используя (6.1.6), находим безусловные смещения и рассеяние байесовской оценки неэнергетического параметра

где априорные среднее значение и дисперсия оцениваемого параметра.

Полученные выражения для характеристик качества байесовской оценки справедливы при условии дифференцируемости апостериорного риска (1.4.11). Для дифференцируемых функций потерь это условие, как правило, выполняется. Однако полученные здесь общие выражения могут быть использованы при недифференцируемых функциях потерь, если априорная плотность вероятности оцениваемого параметра и сигнал обладают необходимым числом непрерывных производных по

Изложенная методика расчета характеристик байесовских оценок применима, если функция имеет минимум. В противном случае, как, например, при равномерном априорном распределении и простой функции потерь, когда методика неприменима, так как при байесовская оценка не сходится к какому-либо определенному значению

Для частного случая оценки неэиергетичсского параметра известного сигнала при квадратичной функции потерь характеристики байесовской оценки можно найти из полученных общих соотношений. Для этого следует положить Тогда для произвольного априорного распределения оцениваемого параметра получаем, что оценка неэиергетичсского параметра сигнала несмещенная, а рассеяние оценки, совпадающее с байесовским риском, определяется формулой

Вычисления двойного интеграла здесь можно избежать, переходя к априорной характеристической функции параметра

и к спектральному представлению сигнальной функции где

В результате получим

Используя методику, изложенную выше, можно найти характеристики байесовской оценки энергетического параметра. Однако при этом заметно возрастают вычислительные трудности. Поэтому ограничимся определением характеристик байесовской оценки простейшего энергетического параметра — амплитуды сигнала содержащего кроме неизвестной амплитуды подлежащей оценке, сопровождающий неэнергетический параметр Полагаем, что неизвестные параметры обладают априорными плотностями вероятности При этих предположениях апостериорная плотность

вероятности амплитуды равна

где нормированные сигнальная и помеховая функции Используя выражение для апостериорной плотности вероятности амплитуды и методику нахождения характеристик оценки, аналогичную при определении характеристик байесовской оценки неэнергетического параметра, получаем соответственно формулы для байесовского риска и безусловных смещения и рассеяния оценки амплитуды

Здесь

— априорные среднее значение и дисперсия амплитуды

Конкретизируя полученные общие соотношения для характеристик байесовской оценки амплитуды применительно к квадратичной функции потерь, находим, что оценка амплитуды несмещенная, а значение байесовского риска совпадает с рассеянием оценки и равно

Все полученные характеристики байесовской оценки амплитуды рассматриваемого сигнала зависят от величины Так как для нормированной сигнальной функции справедливо неравенство

то из (6 1 17) получаем причем знак равенства имеет место лишь в случаях, когда значение сопровождающего параметра априори известно, или когда оигнал не зависит от Выражение для можно несколько упростить применительно к неэнсргетическому сопровождающему параметру, а именно

где