Глава 9. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ НЕПОЛНОЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ПОМЕХЕ

9.1. ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ ПРИЕМЕ НА ФОНЕ ПОМЕХИ С НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Ранее предполагалось, что статистические характеристики помехи априори полностью известны. Однако в ряде практических приложений полные сведения о характеристиках помехи часто отсутствуют, хотя в большинстве таких задач можно считать, что помехи являются нормальными и в течение времени приема сигнала стационарны.

Априорная неопределенность относительно помехи в подобных ситуациях сводится к незнанию либо формы функции корреляции помехи, либо некоторых ее параметров,

Положим вначале, что форма функции корреляции помехи известна, но функция корреляции содержит один или несколько неизвестных параметров, В этом случае для получения оценки неизвестного параметра сигнала можно воспользоваться по крайней мере двумя способами При использовании первого из них необходимо, чтобы приемное устройство вырабатывало функционал отношения правдоподобия для неизвестного параметра сигнала и неизвестных параметров функции корреляции помехи, а затем определяло совместную оценку всех неизвестных параметров. Применение второго способа предполагает, что сначала по принятой реализации смеси сигнала и помехи производится измерение неизвестных параметров функции корреляции помехи (с помощью какого-либо достаточно простого алгоритма), а затем на основе измеренных значений вырабатывается функционал отношения правдоподобия для неизвестного параметра сигнала и производится его оценка. Различие между этими двумя способами в основном сводится к большей или меньшей сложности технической реализации соответствующего приемного устройства.

Рассмотрим способ, основанный на совместной оценке всех неизвестных параметров, от которых зависят статистические характеристики принимаемой смеси сигнала и помехи. Положим вначале, что корреляционная функция аддитивной стационарной нормальной помехи содержит один неизвестный параметр , который в течение времени приема не изменяется.

Принимаемую реализацию смеси сигнала и помехи запишем в виде

где - полезный сигнал, содержащий неизвестный параметр подлежащей оценке; реализация стационарной нормальной помехи с нулевым средним значением. Функция корреляции помехи зависит от априори неизвестного параметра

Используя соотношение (2.6.7), логарифм функционала отношения правдоподобия с точностью до слагаемых, не зависящих от можно записать как

Здесь решение интегрального уравнения

а — детерминированная функция параметра X, которая может быть определена через ее производную (2.6.10):

Формула (9.1.2) определяет структуру приемного устройства оценки параметра Приемник должен вырабатывать функцию для всевозможных значений и Оценка неизвестного параметра сигнала определяется по положению точки в которой функция достигает абсолютного максимума. Параметр X при этом рассматривается как сопровождающий. В соответствии с определением оценка находится из решения системы уравнений

где (усреднение выполняется по реализациям помехи при фиксированных значениях Положим отношение сигнал/помеха для принятого сигнала

и время наблюдения достаточно большими. Тогда, разлагая в двумерный ряд Тейлора в окрестности истинных значений параметров и сохраняя только члены разложения низших порядков малости, получаем систему уравнений для случайных ошибок измерения

Решая эту систему уравнений относительно ошибки оценки параметра находим

Вычисляя производные сигнальной и помеховой Я) функций, входящих в формулу для ошибки оценки, производя усреднение по реализациям, получаем, что оценка условно несмещенная, а дисперсия оценки определяется как

Согласно формуле (9.1.9) при достаточно больших времени наблюдения и отношении сигнал/помеха дисперсия оценки такая же, как при приеме на фоне нормальной помехи с известной функцией корреляции

Пусть теперь функция корреляции помехи будет известна с точностью до конечного числа параметров а апонори неизвестные параметры в течение времени приема пред поля с постоянными. Логарифл функционала отношения правдоподобия параметров с точностью до постоянных слагаемых определяется выражением (9.1.2), в котором вместо одномерного параметра Я надо понимать его многомерный аналог

Приемное устройство должно вырабатывать функцию для всевозможных значений параметров и определить точку абсолютного максимума Следовательно, оценка неизвестного параметра сигнала может быть найдена системы уравнений вида

где

Полагая отношение сигнал/помеха достаточно большим, находим, что если функция корреляции помехи содержит конечное число неизвестных параметров, то оценка параметра сигнала при достаточно больших отношениях сигнал/помеха и времени наблюдения несмещенная и обладает дисперсией (9.1.9), где под нужно понимать

Рассмотрим случай, когда функция корреляции помехи имеет неизвестную форму. Будем считать, что априори неизвестная функция корреляции на интервале может быть представлена в виде ряда по системе ортонормироваиных функций т. е.

Положим, что система функций является полной и ряд (9.1.11) сходится в среднем. Задавшись достаточно большим числом членов разложения, можно записать приближенное равенство

где а неизвестные коэффициенты разложения функции корреляции. Логарифм функционала отношения правдоподобия параметров имеет вид

Здесь решение уравнение

а определяется соотношением

Записав систему уравнений для определения оценки, полагая отношение сигнал/помеха достаточно большим, находим, что оценка параметра несмещенная с дисперсией

Исследуя зависимость днсперсии оценки от количества членов разложения по требуемой точности оценки можно найти необходимую величину При этом в [158] показано, что если выполняются условия высокой апостериорной точности оценки, то при увеличении числа членов в разложении (9.1.13) дисперсия оценки параметра I при приеме сигнала на фоне нормальной помехи с неизвестной функцией корреляции приближается к дисперсии оценки максимального правдоподобия (3.1.46) при приеме сигнала на фоне нормальной помехи с известной функцией корреляцнн. Аналогичное соотношение выполняется при совместной оценке нескольких параметров известного сигнала, принимаемого на фойе помехи с неизвестной функцией корреляции.