4.9. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗДЕЛЬНЫХ И СОВМЕСТНЫХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Для иллюстрации основных соотношений, полученных в этой главе, рассмотрим несколько конкретных примеров. Заметим, что приведенные ниже результаты могут также представлять самостоятельный интерес.

1. Оценка ширины энергетического спектра стационарного случайного процесса на фоне белого шума. Положим, что полезный сигнал представляет собой реализацию нормального случайного процесса с нулевым средним значением и функцией корреляции

где неизвестный параметр, определяющий эффективную ширину энергетического спектра случайного сигнала (величину часто называют временем корреляции случайного процесса).

Смещение и дисперсия оценки определяются формулами куда необходимо подставить спектральные плотности сигнала и шума:

Для сокращения вычислений смещение оценки параметра определим с учетом второго приближения, а дисперсию оценки — с учетом лишь первого приближения (первое слагаемое в правой части формулы (4.1.21)). При этом для дальнейшей записи обозначим отношение средней мощности сигнала к мощности белого шума в эффективной полосе частот полезного сигнала; отношение времени корреляции анализируемого случайного процесса ко времени наблюдения;

Величины и необходимые для вычисления смещения и дисперсии оценки, согласно (4.1.22) равны

Отсюда, подставляя значения и в формулы для смещения и дисперсии оценки, имеем

Если (но отношение сигнал/помеха достаточно велико: чтобы приведенные формулы для смещения и дисперсии оценки были справедливы), то и формулы для смещения и

дисперсии оценки параметра а упрощаются:

При формулы для смещения и дисперсии оценки а принимают вид

На рис. 4.9.1. и 4.9.2 приведены соответственно зависимости относительного смещения и относительной ошибки от отношения мощности сигнала и шума в эффективной полосе частот сигнала

Рис. 4.9.1. Зависимость относительного смещения оценки «ширины» энергетического спектра случайного процесса от

Рис. 4.9.2. Зависимость относительной ошибки оценки «ширины» энергетического спектра случайного сигнала от

Структурную схему оценки параметра а флуктуирующего сигнала (рис. 2.6.2) можно несколько упростить, вычислив заранее вид сигнала Применительно к приему сигнала с рассматриваемой функцией корреляции на фоне белого шума в соответствии с имеем

где

2. Оценка центральной частоты узкополосного нормального случайного процесса при приеме на фоне белого шума. В большом числе прикладных задач возникает необходимость точной оценки несущей частоты или доплеровских сдвигов частоты «нормально флуктуирующих по амплитуде и фазе» узкополосных радиосигналов при приеме их на фоне белого шума. Подобная задача сводится к задаче оценки центральной частоты энергетического спектра узкополосного нормального случайного процесса на фоне белого щума.

Пусть на вход приемного устройства поступает реализация смеси сигнала и щума состоящая из узкополосного нормального случайного радиосигнала

к белого шума с функцией корреляции Полагаем, что среднее значение полезного сигнала а функция корреляции определяется выражением

где средняя мощность сигнала; центральная частота энергетического спектра сигнала; огибающая коэффициента корреляции полезного сигнала.

В соответствии с (2.6.19) логарифм функционала отношения правдоподобия можем записать в виде

Здесь определяются из (2.6.25) и (2.6.24) соответственно. Рассмотрим второе слагаемое, учитывая, что а

где преобразование Фурье от Вводя новую переменную и учитывая узкополосность сигнала выражение для можно представить в виде

Следовательно, логарифм функционала отношения правдоподобия (4.9.5) с точностью до постоянного слагаемого совпадает с выходным сигналом оптимального приемника (2.6.25) и оптимальное устройство должно определять оценку по положению абсолютного максимума функции

Функция в (2.6.23) после преобразования, аналогичного (4.9.6), записывается как

где

Таким образом, оценка параметра может быть найдена по положению абсолютного максимума функции

причем определяется согласно (2.6.17).

Вычислим смещение и дисперсию оценки центральной частоты энергетического спектра сигнала, ограничившись первым приближением. Согласно § 4.1 в первом приближении оценка максимального правдоподобия несмещенная, а дисперсия ее определяется выражением

где величина в соответствии с после преобразования, аналогичного равна

Отсюда формула для дисперсии оценки центральной частоты имеет вид

Вычислим дисперсию оценки для узкополосного радиосигнала с огибающей коэффициента корреляции вида . В этом случае

Подставив это выражение в формулу для дисперсии оценки параметра получим

Здесь, как и в отношение времени корреляции сигнала ко времени наблюдения, отношение средней мощности сигнала к мощности белого шума в эффективной полосе частот полезного сигнала. Если но величина велика то формула (4.9.9) принимает вид

Если , то

т. е. дисперсия оценки центральной частоты энергетического спектра случайного сигнала обратно пропорциональна произведению времени наблюдения и времени корреляции полезного сигнала.

На рис. 4.9.3 приведена зависимость относительной ошибки от отношения мощностей сигнала и шума в эффективной полосе частот сигнала При этом предполагалось, что для всех значений выполняется неравенство

3. Вычислим дисперсию оценки временного положения при приеме колокольного радиоимпульса со случайной равномерно распределенной начальной фазой

в помехах типа белого и узкополосного нормальных шумов.

При приеме сигнала в белом шуме со спектральной плотностью в соответствии с формулой (2.5.30) сигнальная функция определяется выражением

где

— отношение сигиал/помеха. Поскольку отношение сигнал/помеха не зависит от оцениваемого незиергетического параметра, формула для дисперсии опенки временного положения согласно (4.2.19) имеет вид

Из этой формулы видно, что второе слагаемое в скобках для не очень больших отношений сигнал/помеха дает значительную поправку к первому приближению в сторону его увеличения.

В случае приема колокольного радиосигнала (4.9.10) в аддитивной узкополосной помехе с функцией корреляции вида (2.3.5) в соответствии с (2.5.30) и (2.3.7) сигнальная функция (при ) может быть представлена в виде

Здесь

— эффективное отношение сигиал/помеха, численно равиое удвоенному отношению энергии сигнала к эквивалентной мощности помехи на единицу эффективной полосы частот помехи.

Рис. 4.9.3. Зависимость относительной ошибки оценки центральной частоты слехтра узкополосиого случайного сигнала от

Для рассматриваемой узкополосной помехи эффективная полоса частот энергетического спектра согласно

Дисперсия оценки временного положения в первом приближении (4.2.20) определяется формулой

При этом если (помеха достаточно широкополосна, так что в пределах спектра сигнала ее можно аппроксимировать белым шумом со спектральной плотностью то (4.9.14) переходит в первое приближение формулы (4.9.12).

Представляет интерес найти соотношение между параметрами и и в зависимости от расстройки центральных частот спектров сигнала и помехи при котором для фиксированных мощности

помехи и характеристик сигнала дисперсия оптимальной оценки максимальна. Для этого, максимизируя (4.9.14) по а, имеем

При этом максимальное значение дисперсии оценки временного положения равно

На рис. 4.9.4 показана зависимость относительной дисперсии от величины при нулевой расстройке энергетического спектра помехи

Уменьшение дисперсии оценки при уменьшении а от значения, определяемого (4.9.15), объясняется тем, что при оптимальном приеме сигнала на фоне узкополосной помехи за счет фильтрации помеха ослабляется в большей мере, чем сигнал. В пределе при потеря энергии сигнала при такой фильтрации спектра помехи стремится к нулю, и это не сказывается на искажении сигнала помехой на выходе приемника. Увеличение а сверх значения, определяемого (4.9.15) (при фиксированной мощности помехи), приводит к ослаблению мощности помехи в полосе частот спектра сигнала.

Рис. 4.9.4. Зависимость относительной дисперсии оценки временного положения от

4. Вычислим дисперсию оценки временного положения при приеме на фоне белого шума со спектральной плотностью колокольного частотно-модулированного радиоимпульса со случайной Начальной фазой

где скорость изменения частоты внутри импульса (частотной модуляции)

Сигнальная функция и первое приближение для дисперсии оценки, вычисленные в соответствии с (2.5.30) и (4.2.20), имеют вид

где отнощение сигнал/помеха определяется (4.9.11), а

— коэффициент укорочения радиоимпульса по длительности. Согласно дисперсия оценки временного положения радиоимпульса обратно пропорциональна квадрату коэффициента укорочения радиоимпульса.

При и формула (4.9.19) совпадает с первым приближением (4.9.12).

5. Определим дисперсию оценки частоты при оптимальном приеме колокольного радиоимпульса со случайной фазой

на фоне аддитивного белого шума со спектральной плотностью

Сигнальная функция и дисперсия оценки частоты вычисленные согласно (2.5.30) и (4.2.19), определяются (для выражениями

При приеме колокольного радиосигнала в аддитивной узкополосной помехе, функция корреляции которой определяется выражением (2.3.6), сигнальная функция частоты согласно формулам (2.3.7) и (2.5.30) может быть записана в виде

где

— расстройка центральной частоты спектра узкополосной помехи относительно центральной частоты спектра узкополосиого радиосигнала со смещением частоты определяется соотношением (4.9.13). Выражение для сигнальной функции записано в предположении, что

Полагая в получаем отношение сигнал/помеха

которое зависит от оцениваемого параметра хотя энергия сигнала не зависит от величины смещения частоты. Физически это объясняется тем, что расстройка спектра помехи относительно спектра сигнала зависит от истинного значения частоты полезного сигнала.

Таким образом, при приеме узкополосиого радиосигнала на фоне коррелированной помехи параметр оказывается энергетическим. Дисперсия оценки в первом приближении определяется выражением (4.3.15). Используя (4.9.24) получаем

где расстройка центральной частоты спектра помехи относительно центральной частоты спектра принятого сигнала. Отметим, что при дифференцировании сигнальной функции по необходимо учитывать зависимость от

Найдем произведение при котором будет наибольшая дисперсия оценки частоты при фиксированной величине расстройки и фиксированных значениях мощности помехи и параметров полезного сигнала. Максимизируя выражение для дисперсии оценки по и, получаем

При этом максимальное значение дисперсии оценки частоты определяется выражением

На рис. 4.9.5 приведена зависимость относительной дисперсии оценки частоты левой расстройки центральной частоты спектра помехи относительно центральной частоты спектра сигнала

Рис. 4.9.5. Зависимость дисперсии оценки частоты от

Уменьшение дисперсии оценки при изменении а (4.9.27) можно объяснить так же, как в п. 3 при вычислении характеристик оценки временного положения колокольного радиоимпульса на фоне узкополосной помехи.

6. Вычислим смещение и дисперсию оценки максимального правдоподобия амплитуды узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой

при приеме на фоне стационарной нормальной помехи. Ненормированная сигнальная функция согласно имеет вид

где

— отношение сигнал/помеха для принятого сигнала; нормированная сигнальная функция. При этом нормированное отношение сигнал/помеха для сигнала с амплитудой а равно

Вычисляя производные, входящие в (4.3.35) и (4.3.36), получаем, что оценка амплитуды несмещенная, а дисперсия оценки амплитуды равна

т. е. отличается от дисперсии оценки амплитуды известного сигнала (3.5.24) только во втором приближении.

7. Вычислим смещение и дисперсию оценки длительности узкополосного радиоимпульса с колокольной огибающей и случайной начальной фазой

при приеме на фойе белого шума со спектральной плотностью При этом полагается, что начальная фаза сигнала распределена равновероятно на интервале а Сигнальная функция согласно (4.3.20) равна

где отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности белого шума при Отношение сигнал/помеха для произвольного имеет вид

Вычисляя значение производных в (4.3.35) и (4.3.36), получаем смещение дисперсию оценки длительности

Из этих выражений видно, что при фиксированных энергии сигнала и спектральной плотности шума смещение и дисперсия опенки длительности колокольного радиоимпульса растут с увеличением значения длительности Физически этот результат можно объяснить тем, что с увеличением фронт и спад сигнала на выходе оптимального приемника увеличиваются, в результате чего эффективность воздействия нестационарной выходной помехи с функцией корреляции (4.9.31) в пределах «ширины» выходного сигнала возрастает.

8. Рассмотрим оценку несущей частоты прямоугольного радиоимпульса

при приеме на фоне белого шума с односторонней спектральной плотностью Вычислим дисперсию оценки максимального правдоподобия частоты этого сигнала, полагая, что его начальная фаза случайна и имеет априорную плотность вероятности вида (2.5.9). Согласно (2.5.15) можем записать

Соответственно из и первого приближения в (3.5.7) получаем

где

Здесь отношение удвоенной энергии сигнала к спектральной плотности белого шума.

При , что соответствует приему сигнала с точно известной начальной фазой, и дисперсия оценки частоты, естественно, совпадает с первым приближением в формуле (3.5.7).

Если (априорное распределение начальной фазы является равномерным), то и дисперсия оценки параметра Я рзвна

Выходной сигнал приемника для приема радиосигнала с равномерно распределенной начальной фазой в соответствии с (4.4.20) имеет вид

Сравнение формулы (4.9.35) с первым приближением (3.5.7) показывает, что отсутствие априорной информации о величине начальной фазы ведет к увеличению дисперсии оценки частоты в четыре раза. Физически увеличение дисперсии оценки смещения частоты в рассматриваемом случае можно объяснить тем, при приеме радиосигнала со случайной начальной фазой выходной сигнал оптимального приемника будет иметь большую «длительность» (меньшую крутизну фронта и спада), чем выходной сигнал при приеме сигнала с известной начальной фазой. В этом легко убедиться, сравнивая между собой сигнальные функции (4.9.36) и (3.5.6).

Рис. 4.9.6. Зависимость коэффициента от параметра априорного распределения

На рис. 4.9.6 приведены зависимости от А при различных отношениях сигнал/помеха Из этих зависимостей можно видеть, что чем больше отношение сигнал/помеха тем больше должен быть параметр А (т. е. тем меньше должна быть ширина пика априорного распределения начальной фазы (2.5.9)), чтобы получить опенку частоты с дисперсией, близкой к дисперсии оценки частоты радиоимпульса с априори известной начальной фазой. Из кривых также следует, что уже при приемное устройство, учитывающее неравномерность априорного распределения начальной фазы (рис. 2.5.1), дает заметное уменьшение дисперсии оценки по сравнению с дисперсией оценки, полученной при помощи приемного устройства, рассчитанного на сигнал с равномерным распределением начальной фазы.

9. Рассмотрим совместную оценку временного положения то и частоты колокольного радиоимпульса с линейной частотной модуляцией и случайной равномерно распределенной начальной фазой

на фоне белого шума.

Сигнальная функция параметров вычисленная согласно выражению (2.5.30), в котором под надо понимать векторный параметр с составляющими имеет вид

где сигнал/помеха.

В соответствии с выражением (4.7.6) дисперсии и коэффициент взаимной корреляции оценок частоты и временного положения колокольного радиоимпульса определяются формулами

где коэффициент укорочения по длительности определен в (4.9.20).

Из этих формул видно, что дисперсия оценки временного положения радиоимпульса в отличие от оценки этого же параметра при известной частоте (4.9.19) не зависит от коэффициента укорочения ЧМ радиоимпульса, а следовательно, и диапазона частотной модуляции, характеризуемой параметром .

Рис. 4.9.7, Рельеф сигнальной функции при совместной оценке временного положения а частоты радиоимпульса с линейной частотной модуляцией

Рис. 4.9.8. Рельеф сигнальной функции при совместной оценке временного положения и частоты колокольного радиоимпулъса.

Как и в отсутствие частотной модуляции, дисперсия определяется формой огибающей радиоимпульса. Дисперсия оценки частоты прямопропорциональца квадрату коэффициента укоро-, чения радиоимпульса.

При большом значении коэффициента укорочения радиоимпульса коэффициент корреляции оценок близок к единице, т. е. оценки практически становятся функционально зависимыми. Наоборот, при отсутствии частотной модуляции из формул видно, что оценки не коррелироваиы, а их дисперсии совпадают с первыми приближениями раздельных оценок.

На рис. 4.9.7 показан рельеф нормированной сигнальной функции

представляющий «вал», максимальное значение которого «медленно» убывает скоростью изменения огибающей радиоимпульса). Сечения рельефа в плоскостях, параллельных плоскостям «медленно» изменяются по форме и высоте. При наложении даже небольшого уровня помехи трудно определить положение истинного максимума рельефа. Это приводит к сильному увеличению

ошибок при совместной оценке частотно-модулированного радиоимпульса.

На рис. 4.9.8 показан рельеф нормированной сигнальной фуикцнн при (т. е. при Сечения этого рельефа плоскостями, параллельнымн плоскости представляют собой эллипсы, оси которых совпадают с осями Этот факт также свидетельствует об отсутствии корреляции оценок при

10. Совместная оценка частоты и скорости изменения частоты прямоугольного радиоимпульса с равномерно распределенной на интервале случайной начальной фазой

при приеме на фоне белого шума со спектральной плотностью

Сигнальную функцию можно записать согласно (2.5.30) в виде

Интегралы в круглых скобках в элементарных функциях не выражаются. Поэтому найдем необходимые производные от сигнальной функции непосредственно из (4.9.43)

Подставляя значения производных в получаем выражения для дисперсий и коэффициента корреляции совместных оценок и X:

Дисперсии раздельных оценок при этом находятся из формулы

Из сравнения дисперсий совместных и раздельных оценок виднм, что за счет сильной корреляции оценок (информация о извлекается результирующего изменения мгновенной частоты импульса) дисперсии оценок частоты и «наклона» линейной частотной модуляции X при совместной оценке увеличиваются по сравнению с раздельными оценками (когда одни параметров известен) в 16 раз.