1.6. АНОМАЛЬНЫЕ ОШИБКИ

Наряду с рассмотренными выше характеристиками оценок параметров сигналов (смещения, дисперсии, рассеяния, корреляционная матрица при совместных оценках нескольких параметров) в прикладных задачах используются понятия надежной оценки [7, 16] и аномальных ошибок [29, 30 и др.].

Эти понятия введены при рассмотрении источников ошибок применительно к оценке параметра сигнала на фоне помех по методу максимального правдоподобия. Рассмотрим несколько подробнее процедуру оценки параметра по максимуму функционала отношения правдоподобия При этом в дальнейшем будем обозначать через истинное значение Оцениваемого параметра а через значение параметра, соответствующее максимуму максиморуму функционала отношения правдоподобия

Из-за влияния помех функционал отношения правдоподобия - случайная функция, имеющая в общем случае несколько максимумов на априорном интервале возможных значений оцениваемого параметра . В соответствии с принятым методом оценки считается, что сигнал имеет то значение параметра для которого выполняется условие

т. е. соответствует максимуму максиморуму (абсолютному максимуму) функционала отношения правдоподобия При этом мгновенное значение ошибки оценки равно

Величина ошибки оценивания меняется в зависимости от вида принимаемой реализации, т. е. является случайной величиной.

При использовании метода максимального правдоподобия возможны два вида ошибок оценивания.

На рис. 1.6.1,а изображен случай достаточно большого отношения сигнал/помеха и небольшого априорного интервала возможных

значений оцениваемого параметра. Здесь оценка лежит вблизи истинного значения оцениваемого параметра 10. Этот вид ошибок обусловлен небольшими смещениями положения максимума (выброса) функционала отношения правдоподобия за счет наложения помех на полезный сигнал. В дальнейшем этот выброс в отсутствие помех будем называть сигнальным выбросом. Ниже будет показано, что плотность вероятности такого вида ошибок асимптотически при большом отношении сигнал/помеха является нормальной. Поэтому подобные ошибки оценивания часто называют нормальными [29, 30], а саму оценку параметра — надежной [7, 16].

Рис. 1.6.1. Вид функционала отношения

правдоподобия.

На рис. 1.6.1, б представлен случай, когда максимум максиморум функционала отношения правдоподобия лежит в стороне от истинного значения оцениваемого параметра т. е. расстояние между оценкой и истинным значением параметра много больше «длительности» сигнального выброса на выходе оптимального приемника. Такого рода ошибки называют аномальными, так как они физически не обусловлены наличием полезного сигнала. Аномальные ошибки, как правило, появляются при малых отношениях сигнал/помеха и больших априорных интервалах возможных значений оцениваемого параметра за счет помеховых выбросов функционала отношения правдоподобия. Аномальные ошибки могут появляться и при больших отношениях сигнал/помеха и малых априорных интервалах возможных значений оцениваемого параметра, однако вероятность их появления при этих условиях мала.

Частое появление аномальных ошибок снижает практическую ценность метода максимального правдоподобия для оценки параметров сигналов при небольших отношениях сигнал/помеха и больших априорных интервалах возможных значений оцениваемого параметра, т. е. оценка параметра становится ненадежной.

Понятие аномальных ошибок можно применить при оценке параметра не только для метода максимального правдоподобия, но и для других методов оценки, использующих, например, функции потерь вида (1.4.2) — (1,4.5), Для этого несколько точнее определим понятие аномальной ошибки.

Аномальной ошибкой оценки у параметра I будем называть ошибку модуль которой превышает наперед заданную положительную величину 5а. Вероятность аномальной ошибки при этом определяется как

Вероятность аномальной ошибки часто называют вероятностью ненадежной оценки, а величину

— вероятностью надежной оценки.

Так же как и при оценке параметра по методу максимального правдоподобия, величину целесообразно связать с длительностью («шириной») полезного сигнала на выходе оптимального приемника.

Выбор интервала допустимых значений ошибок оценки соизмеримого с длительностью выходного полезного сигнала, оправдан тем, что в большинстве прикладных задач радиофизики измерительная система синтезируется таким образом, чтобы вероятность аномальной ошибки была не выше заранее заданной величины. Конечно, последнего можно достичь (при заданных отношении сигнал/помеха и априорном интервале возможных значений оцениваемого параметра) увеличением длительности выходного сигнала приемника за счет изменения формы полезного сигнала на входе. При этом, естественно, происходит ухудшение точности оценки в пределах сигнального выброса выходного сигнала приемника. Вместе с этим имеется немало задач, например при радиоизмерениях, когда форму полезного сигнала на входе приемника изменить нельзя.

Естественно, деление возможных ошибок на нормальные и аномальные является в известной мере условным. Однако такое деление ошибок оценивания полезно при получении аналитических формул для характеристик оценки смещения и дисперсии. Это обусловлено тем, что, во-первых, за исключением весьма частных случаев отсутствуют приемлемые для практических приложений аналитические методы получения статистических характеристик опенок параметров при произвольных отношениях сигнал/помеха и произвольных априорных интервалах возможных значений оцениваемых параметров; во-вторых, в пределах длительности выходного сигнала для достаточно больших отношений сигнал/помеха с большой точностью можно определить статистические характеристики оценки, а в ряде случаев определить и плотности вероятности ошибок оценок; в-третьих, позволяет приближенно вычислять вероятность аномальной ошибки или вероятность надежной оценки.

Обозначим через и плотности вероятности оценки параметра соответственно в интервале (нормальные ошибки) и вне его (аномальные ошибки). Пусть вероятности появления нормальных и аномальных ошибок.

Очевидно, аномальные и нормальные принятия решений об оценке являются несовместимыми событиями, так как решение принимается либо в интервале либо вне этого интервала. Тогда условную плотность вероятности оценки можно представить как сумму произведений вероятностей определения соответствующих интервалов ошибок на плотности вероятности оценок в этих интервалах:

Отсюда получаем выражения для смещения и рассеяния оценки

где — соответственно смещения и рассеяния нормальных и аномальных оценок.

Для получения безусловных характеристик оценки необходимо выражения и усреднить по всем возможным значениям параметра из априорного интервала

Отметим, что при использовании в качестве характеристик оценки величин необходимо соблюдать осторожность, так как в некоторых задачах требуется обеспечить достаточно малый уровень аномальных ошибок, а не минимальное значение результирующих ошибок. В таких задачах сама цель минимизации ошибки при больиой вероятности аномальных ошибок оказывается неоправданной.

Итак, рассмотрены два способа описания точности оценки. При первом способе используют условные или безусловные смещение и рассеяние (дисперсию) оценки, не выделяя в отдельные классы нормальные и аномальные ошибки. При втором способе используют условные и безусловные смещение и рассеяние (дисперсию) оценки для нормальных ошибок и вероятность надежной оценки.

Достоинством первого способа является то, что нет необходимости вводить довольно условное понятие аномальных ошибок. Кроме того, этот способ в ряде случаев позволяет определить верхние и нижние границы для смещения и рассеяния оценки и решить задачу выбора формы входного полезного сигнала, обеспечивающего минимальные ошибки (например, минимальное значение рассеяния оценки). Следует также отметить, что при экспериментальном исследовании оценок и их характеристик регистрируются результирующие ошибки и только после их регистрации можно говорить о том, какой процент оценок относится к нормальным и аномальным оценкам соответственно.

Естественно, кроме рассмотренных выше двух способов описания точности оценки возможны и другие способы, в том числе и другие способы определения надежной оценки. В частности, представляет интерес определить вероятность аномальной ошибки как вероятность превышения ошибкой некоторого порогового значения, при котором наблюдается наибольшая скорость изменения характеристик оценки. По аналогии с определением промахов в метрологии в качестве порогового значения ошибки можно взять величинут которая превышает где - среднеквадратичная ошибка при учете только нормальных ошибок.