6.6. ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЙЕСОВСКИХ ОЦЕНОК АМПЛИТУДЫ, ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ, ЧАСТОТЫ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ СИГНАЛА

Для иллюстрации полученных в главе результатов рассмотрим несколько конкретных примеров.

1 При оценке амплитуды сигнала с неизвестным временным положением при приеме на фоке белого шума со спектральной плотностью и малых отношениях сигнал/помеха независимо от вида функции потерь байесовский риск (6 1 14) убывает с ростом значения которое определяется формой сигнальной функции и видом априорного распределения Для сопровождающего неэнсргстического параметра, которым является временное положение сигнала и приема сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью величину согласно можно записать в виде

Здесь спектр полезного сигнала. -характеристическая функция параметра При этом предполагается, что полезный сигнал расположен внутри интервала наблюдения

Вычислим для оценки амплитуды колокольного импульса

временное положение которого подчиняется нормальному априорному распределению

Из (6 6 1) получаем

где

Всегда причем при когда Это соответствует случаю, когда длительность полезного сигнала значительно больше интервала возможных чений случайной задержки полезного сигнала Подставляя полученное значение в (6 1 18), находим рассеяние оценки амплитуды при квадратичной функции потерь

2. Вычислим рассеяние оценки временного положения колокольного цмпульсн (6 6 2) на фоке белого шума для малых отношений сигнал/помеха и квадратичной функции потерь, полагая, что сигнал полностью расположен внутри интервала иаблю дения. В рассматриваемом случае нормированная сигнальная функция имеет вид

При априорной плотности вероятности (6 6 3) и квадратичной функции потерь рассеяние байесовской оценки параметра согласно (6 1 12) равно

Аналогично можем найти рассеяние байесовской оценки при других функциях потерь, перечисленных в § 1,4. Например, для экспоненциальной функции потерь (1 4 5)

где

3. Оценка амплитуды известного сигната Отношение сигнал/помеха для принятого сигнала запишем как отношение сигнал/помеха для сишала с единичной амплитудой Если априорное распределение амплитуды считать нормальным с дисперсией то для ряда функций потерь можно найти точные значения рассеяния байесовской оценки амплитуды и байесовского риска 120]. Найдем относительное увеличение среднего риска при замене байесовской оценки амплитуды на оценку максимального правдоподобия согласно (6.2.9) Используя результаты [20], получаем точные выражения

для квадратичной функции потерь (1.4.3),

для линейной функции потерь (1.4.2)

для прямоугольной функции потерь (1 4.4). В записанных формулах

Если то из результатов § 6.2 можем найти асимптотические значения Полагая в (6.2.8) и осуществляя согласно (6.2.9) необходимые вычисления, получаем для квадратичной и линейной функции потерь соответственно

При прямоугольной функции потерь и учетом (6 210) и (6 2 9) имеем

Зависимости от величины приведены на рис. Сплошными линиями изображены зависимости рассчитанные но точным формулам (6.6.8) - (6.6.10), а штриховыми — зависимости, рассчитанные по асимптотическим формулам Для тямоугольной функции потерь зависимость представлена при двух значениях параметра Как видно из рис. 6.6.1, точные зависимости достаточно хорошо аппроксимируются

Рис. 6.6.1. Зависимость относительного увеличения среднего риска для квадратичной (1), линейной (2) и прямоугольной (3) функций потерь.

асимптотическими. Для прямоугольной функции потерь точность аппроксимации зависит от величины и улучшается с ростом

4. Найдем характеристики байесовской оценки длительности колокольного импульса (6 6 2) с известным временным положением при приеме на фоне белого шума со спектральной плотностью и больших отношениях сигнал/помеха где истинное значение длительности. Полагаем, что байесовская оценка определяется для произвольной симметричной дифференцируемой функции потерь. Для рассматриваемого сигнала сигнальная функция имеет (3.5.14), а смещение и дисперсия байесовской оценки определяются формулам

Рис. 6.6.2. Зависимость относительного увеличения дисперсий оценок временного положения и длительности (5) при прямоугольной функции потерь, -смещение байесовской оценки длительности.

Подставляя (3.5.14) в эти формулы, находим условные смещение и рассеяние байесовской оценки

Усредняя эти характеристики по возможным значениям оцениваемого параметра и полагая априорную плотность вероятности и ее производные на границах априорною интервала равными нулю, находим, что безусловная оценка несмещенная, а дисперсия безусловной оценки равна

Здесь априорное среднее значение длительности; среднее значение отношения сигнал/помеха.

5 Найдем смещение и дисперсию байесовской оценки временного положений сигнала (6.6.2) при приеме на фоне белого шума, больших отношениях сигнал/помеха и прямоугольной функции потерь Так как незнергстический параметр, то его байесовская оценка при прямоугольной функции потерь и равномерном априорном распределении несмещенная и согласно (6.4.8) обладает дисперсиеи

где Соответствующая оценка максимального правдоподобия имеет дисперсию Очевидно, . На рис. 6.6.2 приведена зависимость относительного увеличения дисперсии байесовской оценки временного положения сигнала при прямоугольной функции потерь по сравнению с дисперсией оценки максимального правдоподобия

от величины (кривая

6. Определим характеристики байесовской оценки длительности сигнала для прямоугольной функции потерь при приеме на фоне белого шума, равномерном априорном распределении и большом отношении сигнал/помеха, Используя для смещения получаем

где k — решение уравнения

Дисперсия байесовской оценки согласно (6.4.7) равна

Полагая здесь получаем, что оценка несмещенная, а дисперсия оценки совпадает с дисперсией оценки максимального правдоподобия

Рис. 6.6.3. Зависимость относительного увеличения дисперсии байесовской оценки при приеме радиосигнала с известной и случайной (2) начальными фазами,

На рис. 6.6.2 приведена зависимость относительного смещения байесовской оценки длительности от величины (кривая 2) и зависимость относительного увеличения дисперсии байесовской оценки по сравнению с оценкой максимального правдоподобия (кривая 3)

7. Вычислим характеристики байесовской оценки частоты прямоугольного радиоимпульса

при приеме на фоне белого шума, прямоугольной функции потерь и большом отношении сигнал/помеха.

Если начальная фаза радиоимпульса априори известна, то дисперсию байесовской оценки находим из (6 4.8)

где

При неизвестной начальной фазе радиоимпульса дисперсия оценки согласно (6 4 10) равна

Как при известной, так и при неизвестной начальной фазе байесовская оценка параметра несмещенная.

На рис. 6.6.3 приведены зависимости от X относительного увеличения дисперсий байесовских оценок (кривая (кривая 2) по сравнению с дисперсиями оценок максимального правдоподобия параметра которые равны для сигнала с известной начальной фазой и для сигнала с неизвестной начальной фазой.