1.7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

Задача оптимального последовательного оценивания может быть сформулирована следующим образом [31]. Пусть X — дискретная выборка из реализации смеси сигнала и помехи Сигнал содержит неизвестный параметр с априорным распределением Задача состоит в определении оценки Пусть решение (оценка) выносится в результате обработки первых отсчетов реализации (по выборке с объемом Очевидно, что в общем случае требуемое число выборок зависит от оценки (и ее качества) и самой выборки

Из общих соображений следует, что как увеличение ошибки оценивания, так и увеличение времени наблюдения ведет к некоторым потерям. Обозначим потери вследствие использования отсчетов реализации наблюдаемых данных, а как и ранее, потерн, когда вынесено решение у, а значение параметра равно Так как в общем случае случайные величины, в качестве характеристик оценки целесообразно принять сумму средних потерь, соответствующих ошибкам оценивания и количеству используемых отсчетов реализации

наблюдаемых данных:

Здесь условная плотность вероятности [первых отсчетов реализации наблюдаемых данных при значении неизвестного параметра Аналогично (1.4.7) величину можно назвать условным риском. Из определения функций потерь и следует, что наиболее предпочтительными являются оценки, минимизирующие условный риск при заданном

При известном априорном распределении оцениваемого параметра наилучшее правило выбора решения (оценку) можно определить из условия минимума безусловного среднего риска

где - плотность вероятности первых отсчетов реализации наблюдаемых данных; апостерионая плотность вероятности после обработки первых отсчетов. Оценки при непостоянном получаемые по критерию минимума условного или безусловного (среднего) риска, называют соответственно условными и безусловными последовательными байесовскими оценками.

Из сравнения (1.7.2) и (1.4.8) следует, что в общем случае задача определения последовательной байесовской оценки более сложная, чем задача определения байесовской оценки при фиксированном объеме выборки (времени наблюдения).

Последовательное байесовское правило решения относительно просто можно указать, если потери вследствие увеличения количества требуемых отсчетов реализации наблюдаемых данных являются линейной функцией от числа выборок:

Обозначим в этом случае апостериорный риск, соответствующий потерям из-за ошибок оценки, полученный в результате обработки отсчетов в виде

Приближенное байесовское последовательное правило выбора решения может быть сформулировано следующим образом: приемное устройство на основе первых -у отсчетов реализации наблюдаемых данных формирует апостериорный риск и определяет оценку которая минимизирует этот риск. Минимальное значение апостериорного риска обозначим

После того как сформированы величины и приемное устройство на основе отсчетов формирует и Если оказывается, что

то наблюдение прекращается и в качестве оценки используется величина для которой полный байесовский риск равен

Усреднение в последнем выражении выполняется по всевозможным: значениям выборки Если для некоторого неравенство (1.7.6) несправедливо, вырабатываются оценка и минимальный апостериорный риск для числа отсчетов, увеличенного еще на единицу, и снова проверяется выполнимость этого неравенства. Если теперь обозначить

то неравенство (1.7.6) можно переписать в виде

Это неравенство имеет прозрачный физический смысл. Действительно, сумма двух функций, одна из которых убывает с ростом (апостериорный риск, соответствующий потерям из-за ошибок оценивания), а вторая (потери из-за увеличения времени наблюдения) растет с ростом При некотором функция имеет минимум, положение которого определяется неравенствами (1.7.6) или (1.7.9), Изложенное последовательное правило выбора решения является лишь приближенно байесовским. Это правило тем ближе к последовательному байесовскому правилу, чем больше [31].

Если рассматривать непрерывную обработку реализации на интервале величина может изменяться, то приближенное байесовское правило выбора решения может быть сформулировано следующим образом. На интервале вырабатывается апостериорный риск

где апостериорная плотность вероятности, полученная в результате обработки реализации наблюдаемых данных на интервале Затем определяется значение которое минимизирует и соответствующее минимальное значение апостериорного риска После этого время наблюдения увеличивается, пока не будет выполнено неравенство

Здесь предполагается, что потери за счет увеличения времени наблюдения равны

При выполнении неравенства (1.7.11) процесс наблюдения прекращается и в качестве последовательной байесовской оценки используется величина