Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ПОТЕРЬБайесовская оценка при квадратичной функции потерь безусловно несмещенная (1.5.14) и обладает минимальным рассеянием, которое совпадает с байесовским риском (1.5.13). Последнее выражение представляет собой среднее (по реализациям наблюдаемых данных) значение дисперсии апостериорного распределения. Используя связь между моментами случайной величины и производными логарифма ее характеристической функции [27], рассеяние байесовской оценки можно записать в виде
где
— апостериорная характеристическая функция, а усреднение выполняется по реализациям наблюдаемых данных При приеме реализации смеси сигнала и помехи (2.2.1), где неизвестный неэнергетический параметр
Здесь
Подстановка (6.5.3) в (6.5.1) приводит к выражению для рассеяния байесовской оценки при квадратичной функции потерь. Найти точное значение рассеяния байесовской оценки согласно (6.5.1) затруднительно. Поэтому рассмотрим поведение
Будем также полагать, что
где
где
Здесь усреднение выполняется по реализациям помехи при фиксированном
Так как
где Исследуем поведение функции
Подставляя сюда (6.5.8) и (6.5.9) и определяя приближенные значения интегралов с помощью асимптотической формулы Лапласа (6 2.5) при
Здесь
Учитывая, что
С помощью (6.5.14) перепишем (6.5.10) в виде
Безусловно? рассеяние оценки получаем из (6.5.15)
Интегрирование здесь можно достаточно просто выполнить в случае равномерного априорного распределения. Тогда
где Переходя в
Рис. 6.5.1. Зависимости относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха В общем случае, как следует из принятых допущений, точность полученных приближенных формул увеличивается с ростом отношения сигнал/помеха и величины априорного интервала Рассмотрим влияние априорного распределения на рассеяние байесовской оценки, для чего положим
Варьируя параметр А распределения Сравним полученные выражения с аналогичными выражениями для оценки максимального правдоподобия (§ 5.5) с учетом аномальных ошибок. При произвольном априорном распределении
где
Рис. 6.5.2. Зависимости относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха
Рис. 6.5.3. Зависимости относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха. Полученные результаты позволяют рассмотреть вопрос о выборе оптимальной (с точки зрения минимума ошибок) формы сигнальной функций
Подставляя это выражение в
При этом минимальное рассеяние байесовской оценки равно
Зависимость относительного минимального рассеяния Аналогично § 5 5 находим значение
Естественно, при равномерном априорном распределении последние формулы переходят в (5 5 11) и (5 5.10) соответственно Следует отметить, что как для оценки максимального правдоподобия, так и для байесовской оценки при квадратичной функции потерь оптимальная форма сигнала зависит от отношения сигнал/помеха Найдем выигрыш в точности оценки при использовании байесовской опенки (1 5.12) вместо оценки максимального правдоподобия. Согласно
Из этого выражения следует, что при больших отношениях сигнал/помеха замена оценки максимального правдоподобия байесовской оценкой при квадратичной функции потерь может привести к значительному уменьшению рассеяния оценки. Это объясняется интегрированием На рис. 6.5.4 приведены зависимости минимального относительного рассеяния оценки максимального правдоподобия
Рис. 6.5.4. Зависимости минимального относительного рассеяния от отношения сигпат/ломеха отношений сигнал/помеха
|
1 |
Оглавление
|