6.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ

Байесовская оценка при квадратичной функции потерь безусловно несмещенная (1.5.14) и обладает минимальным рассеянием, которое совпадает с байесовским риском (1.5.13). Последнее выражение представляет собой среднее (по реализациям наблюдаемых данных) значение дисперсии апостериорного распределения. Используя связь между моментами случайной величины и производными логарифма ее характеристической функции [27], рассеяние байесовской оценки можно записать в виде

где

— апостериорная характеристическая функция, а усреднение выполняется по реализациям наблюдаемых данных

При приеме реализации смеси сигнала и помехи (2.2.1), где неизвестный неэнергетический параметр полагаем распределенным с плотностью вероятности на интервале можем записать

Здесь нормированные сигнальная помеховая функции (3.1.11), (3.1.3). Подставляя (6.5.2) в выражение для апостериорной характеристической функции, получаем

Подстановка (6.5.3) в (6.5.1) приводит к выражению для рассеяния байесовской оценки при квадратичной функции потерь.

Найти точное значение рассеяния байесовской оценки согласно (6.5.1) затруднительно. Поэтому рассмотрим поведение при больших отношениях сигнал/помеха и большом априорном интервале Здесь длительность сигнальной функции

определяемая согласно (5.3.35) Поскольку предполагается то можем приближенно положить

Будем также полагать, что имеет на интервале ярко выраженного максимума, так что при справедливо неравенство Тогда, учитывая, что для неэнергетического параметра выполняется (2.4.14), имеем

где Представим (6.5.5) в виде

где

Здесь усреднение выполняется по реализациям помехи при фиксированном Используя представление (6.5.6), можем записать

Так как реализация нормального случайного процесса, то

где априорная характеристическая функция.

Исследуем поведение функции

Подставляя сюда (6.5.8) и (6.5.9) и определяя приближенные значения интегралов с помощью асимптотической формулы Лапласа (6 2.5) при имеем

определено в (5.2 6). При и колечных величина а условное рассеяние байесовской оценки при квадратичной функции потерь можио записать как

Здесь априорные среднее и дисперсия оцениваемого параметра;

Учитывая, что и используя асимптотическую формулу Лапласа для приближенного вычисления интегралов, имеем

С помощью (6.5.14) перепишем (6.5.10) в виде

Безусловно? рассеяние оценки получаем из (6.5.15)

Интегрирование здесь можно достаточно просто выполнить в случае равномерного априорного распределения. Тогда

где совпадает с надежностью оценки, введенной Вудвордом ], и определяется из

Переходя в к пределу при находим, что Последнее значение рассеяния байесовской оценки при квадратичной функции потерь совпадает с дисперсией предельной формы байесовской оценки — оценки максимального правдоподобии (3.1.46). При малых отношениях сигнал/помеха а из (6.5.17) имеем т. е. совпадает с дисперсией априорного распределения (5.2.1).

Рис. 6.5.1. Зависимости относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха

В общем случае, как следует из принятых допущений, точность полученных приближенных формул увеличивается с ростом отношения сигнал/помеха и величины априорного интервала рис. 6.5.1 приведены зависимости относительного рассеяния байесовской оценки от отношения сигнал/помеха при различных для равномерного априорного распределения (5.2.1). Пунктиром нанесена относительная дисперсия предельной формы байесовской оценки (3.1.46). Зависимости построены по приближенной формуле (6.5.17), которая в общем случае верна лишь при больших значениях и В области малых значений кривые на рис. 6.5.1, как и на остальных рисунках этого параграфа, верны лишь в качественном отношении.

Рассмотрим влияние априорного распределения на рассеяние байесовской оценки, для чего положим

Варьируя параметр А распределения можно исследовать зависимость рассеяния оценки от степени «сконцентрированности» априорного распределения. Зависимости относительного рассеяния для различных значений приведены на рис. 6.5.2.

Сравним полученные выражения с аналогичными выражениями для оценки максимального правдоподобия (§ 5.5) с учетом аномальных ошибок. При произвольном априорном распределении большом отношении сигнал/помеха и большом априорном интервале безусловное рассеяние оценки максимального правдоподобия получаем из (5 5.4) в виде

где среднее и дисперсия априорного распределения определяется формулой (5.4.14). Для частного вида априорного распределения (6.5.18) на рис. 6.5.3 приведены зависимости относительного рассеяния (для оценки максимального правдоподобия — кривые 1) и (для байесовской оценки — кривые 2) от отношения сигнал/помеха при Сплошными линиями нанесены зависимости для штриховыми — для

Рис. 6.5.2. Зависимости относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха

Рис. 6.5.3. Зависимости относительного рассеяния оценки от отношения сигнал/помеха.

Полученные результаты позволяют рассмотреть вопрос о выборе оптимальной (с точки зрения минимума ошибок) формы сигнальной функций Необходимо найти значение которое минимизирует безусловное рассеяние байесовской оценки. Положим отношение сигнал/помеха настолько большим, что справедливо приближенное представление в виде

Подставляя это выражение в в (6.5.16), дифференцируя полученное выражение по приравнивая производную нулю и решая это уравнение относительно находим

При этом минимальное рассеяние байесовской оценки равно

Зависимость относительного минимального рассеяния для равномерного априорного распределения нанесена на рис. 6.5.1 штрихпунктиром.

Аналогично § 5 5 находим значение минимизирующее рассеяние оценки максимального правдоподобия (6 5 19) при произвольном априорном распределении, и соответствующее минимальное значение безусловного рассеяния

Естественно, при равномерном априорном распределении последние формулы переходят в (5 5 11) и (5 5.10) соответственно

Следует отметить, что как для оценки максимального правдоподобия, так и для байесовской оценки при квадратичной функции потерь оптимальная форма сигнала зависит от отношения сигнал/помеха величины априорного интервала и параметров априорного распределения при

Найдем выигрыш в точности оценки при использовании байесовской опенки (1 5.12) вместо оценки максимального правдоподобия. Согласно и (6 5 24)

Из этого выражения следует, что при больших отношениях сигнал/помеха замена оценки максимального правдоподобия байесовской оценкой при квадратичной функции потерь может привести к значительному уменьшению рассеяния оценки. Это объясняется интегрированием в (1 5 12), в силу чего ложные (не связанные с полезным сигналом) выбросы функционала отношения правдоподобия, которые приводят к большим ошибкам метода максимального правдоподобия, играют значительно меньшую роль при использовании байесовской оценки Заметим, что сравнение точности байесовской оценки и оценки максимального правдоподобия проводится в предположении, что отношение сигнал/помеха и априорное распределение параметра одинаковы для обоих алгоритмов оценки, но используются различные сигналы: (6.5 21) — при байесовской оценке и -при оценке максимального правдоподобия. Если же для обеих оценок использовать сигналы одинаковой формы, то, как показано в § 6.2, при

На рис. 6.5.4 приведены зависимости минимального относительного рассеяния оценки максимального правдоподобия (кривые ) и байесовской оценки

Рис. 6.5.4. Зависимости минимального относительного рассеяния от отношения сигпат/ломеха

отношений сигнал/помеха для двух значений параметра А распределения (6.5.18): (сплошные линии) и (штриховые). Из сравнения кривых рис. 6 5.4 для равномерного и неравномерного априорных распределений следует, что для рассматриваемых величии отношения сигнал/помеха влияние «сконцентрированности» априорного распределения на величину минимального рассеяния оценки незначительно.