10.7. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК ДЛИТЕЛЬНОСТИ, ЧАСТОТЫ, ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗЫ

В предыдущих параграфах были получены формулы для смещения и дисперсии оценки произвольного параметра сигнала на фоне флуктуационных помех при использовании неоптимального приемника. Оцениваемый параметр был при этом лишен конкретного физического содержания. Между тем конкретизация физического смысла оцениваемого параметра позволяет в ряде задач упростить формулы для характеристик оценки или представить их в более ясной (с физической точки зрения) форме.

1. Вычислим смещение и дисперсию оценки длительности прямо у рольного видеоимпульса

при приеме на фоке белого шума с односторонней спектральной плотностью приемником, опорный сигнал которою имеет вид

Очевидно, оцениваемый параметр является энергетическим Сигнальная функция и функция корреляции помехи на выходе лрнемниха в соответствии с формулами § 10.2 могут быть записаны как

Здесь отношение текущего значения длительности опорного сигнала к длительности принимаемого сигнала, а -интеграл вероятности (31.51).

Уравнение (10.2.4) для положения максимума сигнальной фуньции примет вид

где .

Корень трансцендентного уравнения, найденный численным методом, равен

Вычисляя необходимые производные от в точке согласно (10.2.6) и (10.2.7), получаем выражения для смещения и дисперсии оценки длительности

Здесь отношение сигнал/помеха для принятого сигнала

Из полученных формул для смещения и дисперсии оценки следует, что при а смещение стремится к определенной (конечной) величине, зависящей от длительности принимаемого сигнала.

2. Рассмотрим оценку частоты радиоимпульса колокольной формы со случайной начальной фазой

при приеме фоне белого шума с помощью неоптимального приемника, опорный сигнал которого имеет вид

Функции необходимые для определения смещения и дисперсии оценки параметра в соответствии с формулами

§ 10.3 равны

При этом функция достигает максимума при и этот максимум не зависит от т. е. в данном случае параметр является неэнергетическим. Поэтому решением уравнения (10 2.4), где будет согласно (10.3.8) оценка частоты 2 несмещенная.

Дисперсия оценки, определяемая согласно формуле (10.3.9), равна

где первое приближение дисперсии оптимальной оценки максимального правдоподобия отношение сигнал/помеха Параметр характеризует отличие огибающей (длительности или ширины спектра) опорного сигнала относительно принимаемого сигнала.

Из формулы видим, что минимум дипериш псоптнмальггой оценки достигается при При этом что подтверждается простейшими физическими соображениями.

Рис. 10.7.1. Зависимость относительного увеличения дисперсии оценки частоты от отношения длительностей принимаемого и опорного сигналов.

На рис. 10.7.1 приведена зависимость относительного увеличения дисперсии цеоп тимальной оценки по сравнению с дисперсией оптимальной оценки максимального правдоподобия от величины

3. Вычислим первое приближение характеристики оценки частоты о сигнала при приеме на фоне стационарных помех с функцией корреляции вида

где соответственно центральная частота и величина, характеризующая эффективную полосу спектра ломехи.

Энергетический спектр помехи с рассматриваемой корреляционной функцией имеет вид

При этом эффективная полоса спектра помехи равна

Будем полагать, что приемное устройство для оценки смещения частоты сигнала (10 7 5) синтезировано в предположении о помехе в виде белого шума. Тогда, показано в оценка параметра будет несмещенной. Вычисляя функции, вводящие в формулу (10.3.10), получаем выражение для дисперсии оценки частоты

Здесь отношение сигнал/помеха; относительная расстройка спектра помехи, где

— нормированная полоса частот помехи. При расширении спектра помехи, т. е. помеха начинает вести себя как белый шум с эффективной спектральной плотностью в полосе частот равной Соответственно из (10-7 10), полагая при получаем

где удвоенное отношение энергии сигнала к эффективной спектральной плотности шума. Иначе, -это отношение сигнал/помеха на выходе линейной части оптимального приемника при помехе в виде белого шума с односторонней спектральной плотностью Выражение совпадает с аналогичным выражением (4.9.23) для первого приближения дисперсии оптимальной оценки максимального правдоподобия.

При сужении полосы частот спекгра помехи приходим к помехе в виде квазигармонического случайного процесса. При этом, очевидно, и дисперсия оценки частоты колокольного радиоимпульса определяется выражением

Формула для дисперсии оценки записана в предположении, что помехой является квазигармонический шум, т. е. для помехи справедливо представление

где и - случайные функции времени, медленно меняющиеся по сравнению с

Из (10.7.12) следует, что квазигармоническая помеха при весьма больших и весьма малых расстройках спектра помехи относительно спектра сигнала практически не влияет на оценку частоты, так как при дисперсия оценки стремится к нулю. Физически этот эффект можно объяснить следующим образом. При больших расстройках спектры сигнала и помехи практически не перекрываются, и поэтому спектр сигнала не претерпевает заметных искажений. Тогда, если оценка осуществляется не по ложному выбросу, обусловленному помехой (аномальные ошибки отсутствуют), оказывается возможным получить весьма точную оценку частоты полезного сигнала. При весьма малых расстройках на входе приемника присутствует узкополосньгй радиосигнал с центральной частотой, подлежащей оценке, т. е. при сверхузкополосная помеха способствует точной оценке частоты.

В ряде прикладных задач представляет интерес определение характеристик коррелированной помехи, вызывающих максимальную ошибку в определении частоты полезного сигнала при фиксированной мощности помехи. Иначе говоря, представляет интерес найти наиболее неблагоприятные условия для опенки частоты, при которых дисперсия оценки частоты максимальна. Полагая в расстройку спектра помехи относительно спектра сигнала и максимизируя выражение по , получаем, что дисперсия оценки достигает наибольшего значения

Если помеха является весьма узкополосной то. максимизируя (10 7.12) по находим, что дисперсия оценки максимальна при относительной расстройке

При этом дисперсия опенки частоты равна

На рис. 10.7.2 приведены зависимости коэффициента

определяющего величину среднеквадратичной ошибки измерения частоты от относительных значений полосы помехи и ее расстройки Из кривых замечаем, что при прочих равных условиях (фиксированных мощности помехи и форме полезного сигнала) наибольшую погрешность при оценке частоты вызывают помехи, спектры которых расстроены относительно центральной частоты спектра сигнала.

Рис. 10.7.2. Зависимость увеличения среднеквадратичной ошибки оценки частоты от относительной полосы частот помехи.

При этом полоса частот спектра помехи должна быть малой по сравнению с полосой частот спектра полезного сигнала

4. Вычислим дисперсию оценки временного положения колокольного радиоимпульса со случайной начальной фазой и линейным законом изменения частоты внутри импульса

где скорость изменения частоты внутри имлульса. Как и выше, полагаем, что интервал наблюдения значительно больше длительности сигнала, помеха имеет функцию корреляции (10.7.8), а для получения оценки временного положения используется приемник, оптимальный для приема сигнала на фоне белого шума с односторонней спектральной злостностью

Вычисляя согласно (10.3.10) необходимые функции и их производные, находим выражение для дисперсии неоптимальной оценки временного положения колокольного

радиоимпульса с линейным законом изменения частоты

Здесь относительные полоса частот и расстройка спектра помели; коэффициент укорочения ЧМ радиоимпульса с колокольной огибающей;

При расширении спектра помехи (при условии до величины, много большей полосы спектра полезного частотно-модулированного радиоимпульса, помеха с функцией корреляции (10.7.8) начинает вести себя, как белый шум с эффективной спектральной плотностью в полосе частот равной Полагая в при приходим к формуле (4.9.19), где теперь

При сверхузкополосной помехе дисперсия оценки временного положения рассматриваемого радиосигнала определяется выражением

При этом максимальное значение достигается при Если диапазон частот ной девиации достаточно велик, т. е. то формула может быть представлена а виде

где

Значения коэффициента

определяющего величину среднеквадратичной ошибки оценки параметра для различных могут быть найдены из кривых, представленных на рис. в которых вместо и надо полагать и

Из формулы ( и кривых, приведенных на рис. 10.7.2, следует, что с увеличением коэффициента укорочения ЧМ радиоимпульса влияние помехи уменьшается. При этом можно показать, что наибольшее влияние на точности оценки временного положения оказывают помехи, расстроенные по частоте относительно несущей частоты сигнала приблизительно на половину ширины полосы спектра полезного сшнала и имеющие достаточно узкий спектр по сравнению со спектром сигнала

Если центральные частоты спектров помехи и сигнала совпадают то максимум дисперсии оценки временного положения равный

достигается при При этом для значений максимум будет при полосе помехи

5. Найдем дисперсию нсоптимальной оценки флуктуирующей начальной фазы узкополосного радиосигнала.

Пусть на вход приемного устройства, описанного в § 10.5, совместно с аддитивным белым шумом в течение времени поступает сигнал

С флуктуирующей начальной фазой значение которой в момент времени необ ходимо оценить. При этом будем полагать, что стационарный процесс, который аолучается в результате воздействия белого шума на интегрирующую RC-цепь с по стоянкой времени В соответствии с § 10.5 в качестве вёсового множителя возьмем функцию Тогда, вычисляя дисиерсню оценка флуктуирующей начальной фазы согласно получаем

Здесь отношение сигнал/помеха (удвоенное отношение энергии полезного сигнала за время корреляции оцениваемой фазы к спектральной плотности шума), время корреляции фазы

В стационарном режиме дисперсия оценки флуктуирующей начально! фазы определяется соотношением

т. е. совпадает с первым приближением дисперсии оптимальной оценки максимального правдоподобия постоянной начальной фазы (3 5 3) при длительности полезного сигн равной времени корреляции