1.8. ОПТИМАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ОЦЕНОК ОДНОГО И ТОГО ЖЕ ПАРАМЕТРА

В ряде практическях приложений теории оценок возникает задача оптимального использования оценок полученных в системе из измерителей неизвестного параметра сигнала Под оптимальным использованием частных оценок у понимается построение оптимальной (в смысле заданного критерия) оценки у неизвестного параметра I на основе оценок

Если известны условная плотность вероятности оценок при фиксированном значении неизвестного параметра априорная плотность вероятности то условная плотность вероятности этого параметра при заданном наборе оценок у (апостериорная плотность вероятности) может быть записана в виде

На основе апостериорной плотности вероятности может быть построена оптимальная оценка т. е. найден оптимальный алгоритм использования частных оценок

Для получения байесовской оценки при заданной функции потерь следует использовать изложенные в § 1.4, 1.5 общие положения теории статистических решений, подставляя в соответствующие выражения апостериорную плотность вероятности из (1.8.1).

При неизвестном априорном распределении параметра 1, а также в некоторых других случаях определение байесовского алгоритма обработки оценок невозможно или нецелесообразно, В такой ситуации может оказаться разумным формирование на основе оценок у оценки максимального правдоподобия неизвестного параметра. Оптимальное использование оценок при этом сводится к вычислению функции правдоподобия и к определению положения ее абсолютного максимума

Относительно просто оптимальный (по методу максимального правдоподобия) алгоритм использования оценок может быть найден, если эти оценки являются гауссовыми случайными величинами. Тогда, обозначая функцию правдоподобия получаем в виде

Здесь определитель корреляционной матрицы с элементами элементы матрицы, обратной корреляционной матрице условные смещения.

Оценка максимального правдоподобия определяется как положение абсолютного максимума (1.8.2), В простейшем случае, когда элементы условной корреляционной матрицы оценок у и их условные смещения не зависят от значения параметра оценка максимального правдоподобия может быть записана как

где

Согласно полученным выражениям оптимальный алгоритм использований оценок предполагает вычисление взвешенной суммы всех оценок с соответствующими весами. Из (1.8.3) нетрудно найти, что оценка несмещенная, а дисперсия оценки определяется формулой

Если совместное распределение частных оценок неизвестно, а заданы лишь их первые два момента, то найти оптимальный методу максимального правдоподобия)

алгоритм их использования затруднительно. Однако в этом случае можно определить несмещенную оценку [которая минимизирует среднеквадратическуго ошибку в классе линейных оценок. Предположим, что оценка вычисляется по формуле

где

Рассеяние этой оценки равно

Минимизируя по а находим, что рассеяние оценки минимально, если где определяется из (1.8.4), Таким образом, соотношения (1.8.3)- (1.8.7) определяют структуру и характеристики оценки, оптимальной в классе линейных оденок при неизвестном распределении оценок

В частном случае, когда все оценки у несмещенные и некоррелированные, оптимальное использование этих оценок сводится к вычислению величины

где дисперсия Оценки. Дисперсил оценки определяется выражением

Если же все оценки у обладают одинаковой точностью то из полученных выше соотношений находим очевидные формулы:

Когда неизвестны не только распределения оценок но и их первые два момента, оптимальное использование этих оценок вызывает значительные затруднения. В этом случае можно воспользоваться неоптимальпым алгоритмом обработки оценок у, т. е. вычислять, например, оценку в виде