3.4. ОЦЕНКА АМПЛИТУДЫ СИГНАЛА

Из оцениваемых параметров известного сигнала особое место занимает амплитуда, для определения статистических характеристик которой можно получить точные формулы.

Итак, пусть смесь полезного сигнала и нормальной помехи, поступающая на вход приемного устройства, имеет вид

где безразмерный множитель (амплитуда), определяющий мощность сигнала и подлежащий оценке; — заданная функция времени. Помеха характеризуется нулевым средним значением и функцией корреляции

В соответствии с логарифм функционала отношения правдоподобия амплитуды равен

Если априорный интервал амплитуды не ограничен, из решения уравнения правдоподобия получаем выражение для оценки амплитуды

где отношение сигнал/помеха для сигнала с единичной амплитудой. Формула для оценки амплитуды вскрывает структуру оптимального устройства для оценки неизвестной амплитуды известного сигнала. Основной операцией является линейная операция интегрирования с весом Эта операция может быть выполнена с помощью фильтра с импульсной переходной функцией

Рис. 3.4.1. Структурная схема оптимального устройства для оценки амплитуды.

Структурная схема оптимального приемного устройства для оценки амплитуды показана на рис. 3.4.1. где обозначено: оптимальный фильтр с импульсной переходной функцией решающее устройство, образующее отсчет выходного напряжения фильтра в момент времени

Вычислим статистические характеристики оценки амплитуды сигнала. Среднее значение оценки равно

т. е. оценка условно и безусловно несмещенная. Рассеяние оценки, в данном случае совпадающее с диоперсией оценки, после несложных вычислений с учетом (3.4.3) и (2.2.7) определяется выражением

Аналогичные результаты для смещения и дисперсии оценки амплитуды получаются при использовании формул (3.1.44) и (3.1.45), если в них вместо производных подставить соответствующие производные ненормированной сигнальной функции

Для приема сигнала в белом шуме со спектральной плотностью рассеяние оценки амплитуды равно

т. е. рассеяние оценки амплитуды прямо пропорционально мощности помехи на единицу полосы частот и обратно пропорционально энергии полезного сигнала с единичной амплитудой. При приеме сигнала на фоне нормальной помехи с экспоненциальной функцией корреляции вида опорный сигнал (с учетом нулевых значений сигнала при определяется формулой (2.3.6), При этом рассеяние оценки амплитуды имеет вид

Пусть сигнал имеет колокольную форму

и «полностью» расположен внутри интервала наблюдения Тогда, подставляя этот сигнал в предыдущую формулу для дисперсии оценки амплитуды и распространяя пределы интегрирования на интервал получаем

На рис. 3.4.2 приведена зависимость нормированного рассеяния оценки амплитуды от величины характеризующей отношение полос спектров сигнала и помехи.

Поскольку оценка максимального правдоподобия является результатом линейного преобразования суммы сигнала и нормальной помехи, то при фиксированном истинном значении условное распределение оценки будет нормальным со средним значением и дисперсией

Рассмотрим случай, когда априорный интервал определения амплитуды ограничен величиной т. е.

В этом случае оценка амплитуды так же не должна принимать значений вне этого интервала и определяется как [положение абсолютного максимума функционала отношения правдоподобия (3.4.2) при Подставив значение корреляционного интеграла из (3.4.3), преобразуем (3.4.2) к виду

Функция достигает максимума при поэтому при Если то функция на интервале является

монотонно убывающей функцией а и достигает максимума при Если то является монотонно возрастающей функцией а на интервале следовательно, достигает максимума при Таким образом, оценку амплитуды при ограниченном априорном интервале можно записать как

Если учитывать последнее соотношение, структурную схему оптимального устройства для оценки амплитуды известного сигнала при ограниченном априорном интервале можно получить путем добавления к структурной схеме, рис. 3.4.1 линейного ограничителя с характеристикой

Рис. 3.4.2. Зависимость нормированного рассеяния оценки амплитуды от отношения полос спектров сигнала и помехи,

Используя известные соотношения для преобразования плотности вероятности случайной величины в нелинейной системе с кусочно-ломаной характеристикой [27], находим условную плотность вероятности оценки

Здесь

Условное смещение оценки равно

т. е. оценка максимального правдоподобия амплитуды детерминированного сигнала при ограниченном априорное интервале является условно смещенной. Однако при из (3.4.14) и (3.4.15) получаем

асимптотически оценка несмещенная. При весьма малых отношениях сигнал/помеха, Условное рассеяние оценки определяется формулой

При больших отношениях сигнал/помеха эта формула совпадает с аналогичной формулой (3.4.5) для Если истинное значение амплитуды совпадает с одной из граничных точек априорного интервала, то при выполняется приближенное соотношение

т. е. рассеяние оценки оказывается в два раза меньше, чем в случае неограниченного априорного интервала.

С уменьшением отношения сигнал/помеха условное рассеяние (3.4.16) стремится к конечной величине

в то время как рассеяние оценки с неограниченным априорным интервалом при неограниченно возрастает.

Отметим, что хотя смещение и рассеяние оценки вычислялись как условные, они тем не менее не зависят от истинного значения амплитуды и являются одновременно безусловными.

Вычислим безусловные смещение и рассеяние оценки амплитуды (3.4.12). Для этого условные характеристики (3.4.16) и (3.4.16) надо усреднить по истинным значениям амплитуды априорная плотность вероятности которой предполагается равномерной на интервале Получаем, что безусловная оценка несмещенная, а безусловное рассеяние определяется выражением

При больших отношениях сигнал/помеха безусловное рассеяние переходит в рассеяние оценки, полученной при неограниченном априорном интервале. Для весьма малых отношений сигнал/помеха, когда рассеяние оценки (3.4.3) неограниченно возрастает, безусловное рассеяние имеет конечный предел, равный среднему квадрату априорного распределения амплитуды