6.2. СВОЙСТВА БАЙЕСОВСКИХ ОЦЕНОК ПРИ БОЛЬШИХ ОТНОШЕНИЯХ СИГНАЛ/ПОМЕХА

Можно показать [113], что при неограниченном увеличении отношения сигнал/помеха при приеме извесшого сигнала на фоне аддитивных нормальных помех апостериорное распределение оцениваемого параметра сходится к нормальному распределению со средним значением и дисперсией, определяемыми соответственно формулами

Здесь априорная плотность вероятности, которая полагается непрерывной функцией в интервале возможных значений оцениваемого параметра, -логарифм функционала отношения правдоподобия При этом с увеличением отношения сигнал/помеха апостериорное сред нее стремится к оценке максимального правдоподобия Отсюда, а также из [4, 20] получаем, что для любой симметричной неубывающей функции потерь предельное значение байесовской оценки совпадает с апостериорным средним значением и асимптотически стремится к оценке максимального правдоподобия Следовательно, байесовские оценки асимптотически инвариантны к достаточно широкому классу симметричных функций потерь и непрерывных априорных распределений.

Асимптотические свойства байесовских оценок позволяют при достаточно больших отношениях сигнал/помеха аппроксимировать байесовскую оценку оценкой максимального правдоподобия Однако для этого необходимо оценить точность аппроксимации байесовской оценкн с помощью оценки максимального правдоподобия при больших, но конечных отношениях сигнал/помеха.

Необходимо отметить, что замена байесовской оценки оценкой максимального правдоподобия позволит существенно упростить приемное стройство, а инвариантность предельной формы байесовской оценки по отношению к априорным распределениям и выбору функции потерь дает возможность частично преодолеть трудности, связанные с априорной неопределенностью и произволом в выборе потерь

Ухудшение качества оценки при замене байесовской оценки оценкой максимального правдоподобия охарактеризовать относительной разницей между средними потерями, соответствующими этим оценкам.

Здесь усреднение выполняется по реализациям помехи при фиксированном истинном значении оцениваемого параметра 10.

Вычислим относительную разницу между средними потерями при менительно к асимптотическому апостериорному распределению (при и симметричным неубывающими функциями потерь вида

где

Обозначая и осуществляя замену пере менных и проводя несложные преобразования, числитель можно представить в виде

Для вычисления интегралов воспользуемся асимптотической формулой Лапласа согласно которой

при условии, что вещественная функция имеет абсолютный максимум в точке

Учитывая, что при справедливы приближенные соотношения

а также применяя для вычисления интегралов (6.2.4) аоимптотическую формулу Лапласа, находим

где гамма-фуикция.

Аналогично получаем выражение для знаменателя (6.2.3)

Для лринятого достаточно большого отношения сигнал/помеха оценка максимального правдоподобия в первом приближении где определено в (3.1.13). Подставляя это приближение в полученные соотношения для числителя и знаменателя (6.2.3), разлагая последнее выражение в ряд по отрицательным степеням и выполняя усреднения по реализациям помехи получаем

где дисперсия эффективной оценки (3.1.46).

Ухудшение качества при замене байесовской оценки оценкой максимального правдоподобия можно также характеризовать величиной относительной разницы 691 между безусловными рисками этих оценок Для вычисления необходимо в (6.2.3) производить усреднение раз дельно в числителе и знаменателе не только по реализациям помехи и по возможным истинным значениям оцениваемого параметра т. е.

Применительно к прямоугольной функции потерь (1.4.4) и асимптотическому поведению апостериорного распределения формула для ухудшения качества оценки (6.2.3) может быть представлена в виде

Полученные соотношения позволяют количественно оценить скорость сходимости байесовской оценки к Оценке максимального правдоподобия с увеличением отношения сигнал/помеха для достаточно широкого класса функций потерь.