10.4. СОВМЕСТНАЯ ОЦЕНКА НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ

Обобщим полученные выше результаты на случай совместной оценки неизвестных параметров сигнала при неоптимальном приеме на фоне аддитивной нормальной помехи.

Неоптимальное приемное устройство известного сигнала формирует функцию согласно выражению

(10.2.2), где под I следует понимать При этом значение оценки определяется по положению абсолютного максимума функции следовательно, оценка может быть найдена из решения системы уравнений

Вводя обозначения, аналогичные § 10.2, перепишем (10.4 1) как

Первые два момента помеховой функции равны

Из уравнения (10.4.2) следует, что в отсутствие помехи оценка равна 1 и может быть получена из системы уравнений

Используя методику, описанную в § 3 3, и ограничиваясь первым приближением оценки, получаем формулы для вычисления смещения оценки параметра

и элементов корреляционной матрицы оценок

Здесь определитель порядка с элементами

алгебраические дополнения этого определителя

Так же как в § 10 2, из (10 4.4) и (10 4 5) нетрудно получить выражения для характеристик оценки при использовании приемника, оптимального для помехи в виде белого шума

Применительно к совместной оценке нескольких параметров узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой структура неоптимального приемника будет определяться формулой (10 3 3), где следует заменить на 1. Как и выше, будем полатать, что амплитуда

полезного сигнала на выходе линейной части приемника и отношение сигнал/помеха достаточно велики, а оценка параметра в отсутствие помехи есть 1. При этом система уравнений для определения оценки имеет вид

Используя метод малого параметра, находим, что смещение оценки определяется выражением (10.4.4), где 1 находится из системы уравнений (10.4.3) при подстановке функции

Подставляя в (10.4.5) функцию (10.4.6) и учитывая

получаем выражение для элементов корреляционной матрицы оценок параметров узкополосного радиосигнала. При этом функции, входящие в (10.4.7), определяются из § 10.3 при замене на

В заключение этого параграфа заметим, что полагая (для известного сигнала) и (для узкополосного радиосигнала), где решения уравнения (2.2.7), получаем выражения для характеристик оптимальных оценок максимального правдоподобия (3.3.10) и (4.7.6).

105. оценка флуктуирующего параметра известного сигнала

Выше рассматривались методы оценки параметра, величина которого в течение приема не изменяется. Однако эти методы в первом приближении можно применить к задачам оценки флуктуирующего параметра сигнала, т. е. применить к задачам оценки такого параметра, величина которого меняется случайно в течение приема сигнала.

Рассмотрим задачу оценки флуктуирующего параметра применительно к приему известного сигнала на фоне белого шума.

Представим принимаемую сумму сигнала и помехи в виде

где - полезный сигнал, который зависит от реализации некоторого флуктуирующего параметра белый шум с односторонней спектральной плотностью

При оптимальной приеме сигнала приемное устройство должно образовать логарифм функционала отношения правдоподобия оцениваемого параметра. Точное решение задачи об определении функционала отношения правдоподобия флуктуирующего параметра достаточно сложно и требует значительного количества априорных данных. с принципиальной точки зрения многомерную апостериорную плотность вероятности можно найти в случаях, когда параметр представляет собой реализацию марковского или нормального случайного процессов.

Для получения приближенного выражения апостериорной плотности оцениваемого параметра при приеме сигнала на фоне белого шума обычно полагают , что в течение времени, равного времени корреляции параметра значение оцениваемого параметра остается постоянным. При этом в полученных ранее формулах для

выходного сигнала приемника интегрирование (после умножения принятой реализации на опорный сигнал с текущим значением параметра) следует производить не по всему интервалу наблюдения а только по некоторому интервалу где время корреляции оцениваемого параметра.

В реальных устройствах конечное время интегрирования определяется постоянной времени сглаживающих линейных фильтров, расположенных после дискриминаторов (в нашем случае — после умножителей). В оптимальных или квазиоптимальных приемных устройствах вид импульсной переходной характеристики сглаживающих фильтров определяется характером самих флуктуации оцениваемого параметра и видом внешних помех

В ряде работ [6, 26] при достаточно строгом решении некоторых задач оптимальной фильтрации незнергетических параметров показано, что для нормально флуктуирующего параметра в стационарном режиме импульсная переходная характеристика сглаживающих цепей созпадает с импульсной переходной функцией линейной системы, при воздействии на которую белого шума получается оцениваемый параметр.

На основе приведенных соображений, применительно к приему сигнала на фоне белого шума, выходной сигнал приемника для оценки значения неэнергетического флуктуирующего параметра конце интервала наблюдения (т. е. при запишем в виде

Здесь импульсная переходная функция сглаживающего фильтра. Причем для физически реализуемых фильтров выполняется условие при

Наличие весового множителя выражении (10.5.2) физически можно интерпретировать следующим образом. При формировании оценки в текущий момент времени связи с флуктуациями оцениваемого параметра информация о его значении, которая была известна наблюдателю в предшествующее время постепенно утрачивает свое значение.

Естественно, подобное введение весового множителя хотя и приводит к потере оптимальности преемника, но позволяет существенно упростить его структуру.

В формуле (10.5 2) предполагается, что интересующее наблюдателя значение параметра измеряется в момент времени Однако в некоторых случаях целесообразно оценку осуществлять в некоторый момент времени, отличный от , например в момент времени Такое положение характерно для сигналов непрямоугольной формы, когда к моменту значение полезного сигнала спадает до нуля. В этом случае при оценке значения флуктуирующего параметра в момент времени следует учесть статистику принимаемого сигнала до и после момента Иначе говоря, в выражение (10 5.2) необходимо ввести весовой множитель вида убывающий по мере возрастания абсолютного значения

В качестве весовых множителей для дальнейшего анализа наиболее удобно использовать функции вида

Параметр у приближенно может быть взят равным величине, обратно пропорциональной времени корреляции оцениваемого параметра.

Для времени наблюдения много большего времени корреляции оцениваемого параметра, нижний предел интегрирования в (10.5.2) можно взять равным

Если весовой множитель зависит от модуля разности и много больше времени корреляции оцениваемого параметра то выходной сигнал приемника запишется в виде

Как и ранее, выходной сигнал приемника (10.5.2) представим в виде сигнальной и помеховой составляющих

где

- истинное значение оцениваемого параметра при

Для нахождения характеристик (смещения и дисперсии) оценки, определяемой по положению максимума максиморума выходного сигнала приемника, в первом приближении можно воспользоваться полученными выше выражениями для случайной ошибки измерения При этом можно показать, что оценка неэнергетического флуктуирующего параметра несмещенная. Дисперсия оценки флуктуирующего параметра сигнала определяется формулой

Если оцениваемый параметр не флуктуирует или ею время корреляции много больше времени наблюдения, то весовой множитель можно положи равным единице Тогда формула для дисперсии оценки принимает вид формулы (3 146) для дисперсии оптимальной оценки максимального правдоподобия параметра известного сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью

Полученное выражение для дисперсии неоптимальной оценки флуктуирующего параметра легко обобщается на прием сигнала на фоне коррелированной помехи с функцией корреляции В этом случае выражение для дисперсии оценки имеет вид