2.2. ФУНКЦИОНАЛ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА

Для простоты записи положим, что полезный сигнал содержит только один неизвестный параметр Тогда принимаемую реализацию суммы сигнала и помехи можно записать как

Вначале будем считать, что производится дискретная обработка, используется отсчетов реализации наблюдаемых данных взятых в равноотстоящие моменты времеда так что Обозначим также Отношение правдоподобия определяется формулой (1.1.5). Подставляя в эту формулу явное выражение для многомерной нормальной плотности вероятности, получаем

последнем выражении учтено, что в силу симметрии корреляционной матрицы обратная матрица также симметрична.

Формула (2.2.2) используется для построения оптимального приемника при дискретной обработке наблюдаемых данных. Однако непрерывная обработка наблюдаемых данных позволяет использовать информацию, содержащуюся во всей реализации а не только в отдельных отсчетах Кроме того, в ряде прикладных задач техническая реализация оптимального приемника (особенно при приеме высокочастотных радиосигналов) оказывается более простой при непрерывной обработке. Выражение для функционала отношения правдоподобия при непрерывной обработке реализации можно получить из формулы (2,2.2), если перейти к пределу при

где функция определяется из интегрального уравнения

Отметим, что поскольку всегда то из (2.2.4) следует

Часто более удобным оказывается запись функционала отношения правдоподобия с помощью функции

которая является решением интегрального уравнения

Действительно, умножая уравнение (2.2.4) слева к справа на I), интегрируя по переменной используя фильтрующее свойство дельта-функции и учитывая соотношение (2.2.6), приходим к уравнению Используя функцию можем переписать выражение для функционала отношения правдоподобия в виде