4.7. СОВМЕСТНАЯ ОЦЕНКА НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ РАДИОСИГНАЛА

Обобщим результаты, полученные для оценки одного параметра, на случай совместной оценки нескольких параметров узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой.

Полезный сигнал запишем в виде (2.5.43).

Логарифм функционала отношения правдоподобия аналогично (4.3.1) можно записать как

где (I) — величина отношения сигнал/помеха при значении параметра 1, а

Квадратурные составляющие выходного сигнала оптимального приемника определяются соотношениями (2.5.45) и (2.5.46). Подставляя в принятую сумму сигнала и помехи и используя нормированные функции которые определяются аналогично (4.2.5), получаем выражение для в виде (4.2.7) при замене I на 1, где отношение сигнал/помеха для принятого сигнала. Отсюда, полагая учитывая асимптотическое

поведение при и разлагая в ряд Маклорена по нормированную огибающую приходнм к выражению

Здесь определяются аналогично (4.3.7) и (4.3.8) при замене на 1,

Систему уравнений правдоподобия запишем в виде

Решение этой системы уравнений будем искать методом малого параметра виде Ограничиваясь рассмотрением первого приближения, получаем, что случайная ошибка измерения параметра равна

где — определитель порядка с элементами алгебраические дополнения этого определителя.

Используя (4.7.5) и вычисляя моменты помеховых функций, находим, что оценка параметра несмещенная. Отсюда следует вывод, что в первом приближении оценки совместно несмещенные. При этом элементы корреляционной матрицы оценок аналогично совместной оценке параметров известного сигнала (3.3.10) равны

где определитель с элементами алгебраические дополнения этого определителя.

В более компактной форме последнюю формулу можно переписать как

Отметим, что первые приближения для смещения и корреляционной матрицы совместных оценок совпадают с соответствующими характеристиками несмещенных совместно-эффективных оценок. Точность полученных соотношений возрастает с ростом отношения сигнал/помеха т. е. совместные оценки максимального правдоподобия произвольных параметров узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой являются асимптотически (при несмещенными и совместно-эффективными.