Глава 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В общем виде задача оценки (измерения) параметров сигнала при приеме на фоне помех может быть сформулирована следующим образом. Пусть в течение фиксированного интервала времени наблюдается (принимается) некоторая реализация случайного процесса являющаяся детерминированной скалярной функцией от полезного сигнала и помехи (помех)

Полезный сигнал является детерминированной функцией своих аргументов и в общем случае содержит кроме фиксированного числа известных параметров неизвестных параметров подлежащих оценке, и неизвестных параметров которые не интересуют наблюдателя и в оценке которых нет необходимости. В дальнейшем первый класс неизвестных параметров будем называть оцениваемыми (существенными) параметрами, а второй класс неизвестных параметров — сопровождающими (несущественными, мешающими или паразитными). Одним из основных условий задачи оценки параметров сигнала является требование независимости оцениваемых (существенных) параметров от времени в течение интервала приема

Дальше, как правило, будем полагать, что оцениваемый многомерный параметр 1 является непрерывной векторной случайной величиной в некотором заданном интервале ее возможных значений.

На основе наблюдения и анализа принятой реализации необходимо решить, какие значения (из заданного интервала возможных значений) принимают интересующие наблюдателя параметры в этой реализации. Другими словами, на основе обработки наблюдаемой реализации необходимо произвести измерение, т. е. выработать оценку искомого многомерного параметра 1.

Оценка параметра сигнала — это некоторая определенным образом выбранная система функций (или одна функция) от наблюдаемых данных Значения этих функций при фиксированной реализации оценивают (т. е. определяют заданным способом) неизвестные параметры сигнала.

Естественно полагать, что используемые для получения оценки методы при их многократном применении в большинстве случаев приведут к правильному заключению о значении оцениваемых параметров.

В зависимости от требований, предъявляемых к процессу оценки и к самим оценкам параметров, возможны разнообразные методы оценивание При этом каждая оценка характеризуется своим показателем качества, который в большинстве случаев указывает меру близости оценки к истинному значению оцениваемого параметра. Показатель качества оценки, в свою очередь, определяется выбором критерия качества оценки или сокращенно критерия оценки. Поэтому, прежде чем построить оценку, нужно выбрать критерий оценки.

Выбор критерия оценки зависит от конечной задачи, для которой используется оценка параметра снгналат В связи с тем, что эти задачи могут значительно отличаться, не может быть единого критерия оценки и единственной оценки для данного параметра сигнала. В частности, это обстоятельство затрудняет сравнение различных оценок. Ясно, что сравнение различных оценок возможно лишь при использовании одного и того же критерия оценки.

Во многих практических приложениях критерии оценок могут быть получены на основе интуитивных представлений о целевом назначении оценки. Вместе с тем значительный интерес представляет разработка, формального подходя к выбору тех или иных критериев, поскольку именно такой подход позволяет яснее понять сущность и особенности проблемы оценок параметров сигналов, а главное, дает возможность более объективно подойти к задаче обоснованного выбора критерия оценки.

Из-за наличия помех и конечного времени наблюдения сигнала любой оценке (т. е. алгоритму измерения неизвестного параметра или правилу решения) присущи ошибки, определяемые как критерием качества оценкя, так и условиям при которых происходит процесс оценки, Поэтому задача оптимальной оценки параметра 1 состоит в том, чтобы найти такой алгоритм определения (оценки) параметра I, при котором для заданного критерия оценки эти ошибки решения (оценки) были бы минимальными. Требование малости ошибок в общем случае не имеет однозначного смысла. Однако если задан критерий оценки, то на его основе формируется показатель качества оценки, зависящий от ошибок, и задача получения оптимальной оценки сводится к нахождению процедуры решения (алгоритма получения оценки), которая минимизирует (или максимизирует) этот показатель качества. Другими словами, задача построения оптимальных (в соответствии с заранее выбранными критериями) оценивающих устройств (приемных и решающих) состоит в том, чтобы, оперируя определенным образом над принятыми данными получить как можно большую (в заданном смысле) информацию об интересующих наблюдателя параметрах сигнала.

Интуитивно ясно, что оценка параметра 1 должна быть близка в некотором смысле к истинному значению оцениваемого параметра,

причем оптимальная оценка в соответствии с выбранным критерием должна минимизировать эту меру близости.

Для упрощения записи и рассуждений в дальнейшем будем полагать, что неизвестным параметром сигнала является один существенный параметр I, хотя выводы, которые будут сделаны, останутся справедливыми (с очевидными изменениями) для совместной оценки нескольких параметров.

Для оценки одного параметра естественно получить одну функцию от наблюдаемой реализации, причем эта функция должна обладать некоторыми хорошими свойствами. В общем случае оценка неизвестного параметра будет функцией от функции, т. е. будет являться функционалом.

Очевидно, чем более полными знаниями располагает наблюдатель о характеристиках сигнала и помех, о способе комбинирования сигнала и помехи в принимаемой реализации о возможных значениях оцениваемых и сопровождающих параметров сигнала, тем легче и определеннее будет решаться задача синтеза устройства, обеспечивающего (о соответствии с заданным или выбранным критерием) минимальные ошибки оценки интересующего нас параметра сигнала.

По существу поставленной задачи оцениваемый параметр является для наблюдателя случайной величиной, В такой ситуации наиболее полные сведения о возможных значениях параметра I даются апостериорной (послеопытной) плотностью вероятности которая является условной плотностью вероятности параметра при условии, что принята данная реализация

Выражение для апостериорной плотности вероятности может быть получено из теоремы об условных вероятностях двух величин где под понимается многомерная -мерная) выборка из реализации на интервале времени Согласно теореме об условных вероятностях

имеем

Здесь априорная (доопытная) плотность вероятности оцениваемого параметра плотность вероятности многомерной выборки X из реализации

Плотность вероятности не зависит от текущего значения оцениваемого параметра I и может быть найдена из условия нормировки плотности вероятности

Здесь и всюду далее интегрирование выполняется по априорной области всех возможных значений оцениваемого параметра

С учетом (1.1.3) выражение для апостериорной плотности вероятности можно записать как

Условная плотность вероятности выборки наблюдаемых данных X (при условии, что оцениваемый параметр имеет значение рассматриваемая как функция от I, называется

функцией правдоподобия. Эта функция при фиксированной выборке X показывает, насколько одно возможное значение параметра I «более правдоподобно», чем другое.

Функция правдоподобия играет весьма важную роль в задачах оптимального приема. Однако если для получения опенки используется не выборка наблюдаемых данных X (дискретная обработка), а сама принятая реализация (непрерывная обработка), то использование функции правдоподобия приводит к ряду трудностей математического характера. Избежать их можно, вводя отношение правдоподобия [20]

где плотность вероятности выборки наблюдаемых данных при отсутствии сигнала.

Применительно к анализу непрерывной реализации на интервале введено понятие функционала отношения правдоподобия [1, 27 и др.]

где интервал между выборками, причем число выборок равно целой части дроби

Если полезный сигнал содержит несколько векторных параметров, например то отношение правдоподобия двух векторных параметров запишется в виде

При оценке одного векторного параметра 1 отношение правдоподобия может быть найдено из отношения правдоподобия если известно априорное распределение параметра Представим априорную плотность вероятности параметров в виде

Тогда для функции правдоподобия параметра 1 можно записать

Подставляя последнее соотношение в (1.1.5), имеем

Если параметры независимы, то

Итак, если известно отношение правдоподобия для двух параметров и необходимо найти отношение правдоподобия для одного из них, надо отношение правдоподобия для двух параметров усреднить по априорному распределению (условному или безусловному) второго параметра. Нетрудно показать, что соотношения (1.1.10) и (1.1.11) обобщаются и на функционалы отношения правдоподобия,

С помощью введенных обозначений выражение для апостериорной плотности вероятности можно записать в виде

где нормирующий коэффициент, не зависящий от параметра I:

Приемное устройство, образующее на своем выходе апостериорное распределение оцениваемого параметра, принято называть оптимальным (по Вудворду) приемником [7]. Оптимальный приемник не производит оценки. То или иное решение относительно значения оцениваемого параметра выносит наблюдатель или дополнительное решающее устройство на основе анализа апостериорного распределения.

Следует отметить, что апостериорная плотность вероятности оцениваемого параметра и отношение правдоподобия являются случайными функциями, зависящими от принятой реализации.

В теории статистических оценок используют два вида оценок: интервальные (доверительные) и оценки в точке.

При интервальных (доверительных) оценках необходимо указать интервал, в котором с вероятностью, не меньшей заданной, содержится истинное значение неизвестного параметра. Эта заданная вероятность называется коэффициентом доверия, а указанный интервал возможных значений оцениваемого параметра — доверительным интервалом. Верхняя и нижняя границы доверительного интервала, которые называются доверительными пределами, и сам доверительный интервал являются функциями (при дискретной обработке) или функционалами (при непрерывной обработке) наблюдаемой реализации

Теория интервальных оценок достаточно хорошо разработана и нашла практическое применение при оценке параметров функций распределения стационарных случайных процессов. Построение интервальных оценок параметров сигналов (радиосигналов) при наличии помех в общем случае наталкивается на серьезные трудности принципиального характера. В связи с этим в настоящее время отсутствует какая-либо приемлемая для практических приложений методика нахождения интервальных оценокпараметров сигналов при приеме их на фоне помех, хотя для большого класса практических задач они представляют несомненный интерес.

При оценке в точке (точечной оценке) неизвестному параметру приписывают одно значение параметра из интервала возможных его значений, т. е. на основе анализа принятой реализации вырабатывается некоторая величина, которую используют в качестве истинного значения параметра. Применительно к оценке параметров сигналов на фойе помех точечные оценки обладают целым рядом полезных свойств, которые обусловили их широкое практическое применение в большом числе задач статистической радиофизики, радиотехники, технической кибернетики и др.

Кроме рассматриваемого метода оценки параметра сигнала, основанного на анализе реализации смеси сигнала и помехи за фиксированное время, существует последовательный метод оценивания [10, 31 и др.]. Сущность этого метода состоит в использовании аппарата последовательного статистического анализа для оценки параметров сигнала. Основная идея последовательного оценивания состоит в том, что

производится достаточно обоснованный выбор времени анализа реализации , при котором можно получить оценку параметра с заданной достоверностью. Для точечной оценки достоверностью может являться среднеквадратичное отклонение оценки или же другая, более подходящая функция, характеризующая отличие Оценки от истинного значения параметра. С точки зрения интервального последовательного оценивания достоверность оценки может быть выражена через длину доверительного интервала с данным коэффициентом доверия.

Несмотря на определенный интерес, который представляет задана последовательного оценивания, применительно к оценке параметров сигнала на фоне помех этот вопрос практически мало исследован. Некоторые материалы по оптимальной Оценке приведены в § 17. В основном далее рассматриваются точечные оценки параметров сигналов при анализе реализаций смеси сигнала и помехи за фиксированный интервал времени.