2.3. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА

В выражении для функционала отношения правдоподобия (2.2.8) от принятой реализации зависит только первое слагаемое в показателе экспоненты

Эта функция является достаточной статистикой и определяет ту существенную операцию, которую надо произвести над принятой реализацией, чтобы извлечь всю информацию о неизвестном параметре, содержащуюся в реализации Следовательно, можем рассматривать в качестве выходного сигнала оптимального приемника. Из анализа выражения (2.3.1) определяем структуру оптимального приемника.

Структурная бхема оптимального приёмника применительно к одному из возможных текущих значений параметра I приведена на рис. 2.3.1, Поступающая на вход приемного устройства аддитивная смесь полезного сигнала и помехи перемножается с функцией которая представляет собой опорный сигнал гетеродина приемника Колебание с перемножителя подается на идеальный интегратор, в результате него образуется выходной сигнал оптимального приемника В дальнейшем сигнал используется для формирования оценки, оптимальной, в смысле заданного критерия. Опорный сигнал гетеродина формируется в соответствии с интегральным уравнением (2,2.7).

Если полезный сигнал содержит оцениваемых параметров то, повторяя выкладки, проделанные при выводе выражения (2.3.1), для выходного сигнала оптимального приемника получаем аналогичное выражение, в котором под I надо понимать его векторный аналог 1. Структурная схема оптимального приемника в этом случае отличается от структурной схемы, показанной на рис. 2.3.1, тем, что выходной сигнал должен вырабатываться для всевозможных значений параметров что приводит к значительному усложнению приемного устройства. Действительно, если оптимальный приемник при приеме сигнала с одним неизвестным параметром для получения значений выходного сигнала точках априорного интервала оцениваемого параметра должен содержать каналов, то приемник сигнала с неизвестными параметрами должен содержать таких каналов.

Рис. 2.3.1. Структурная схема оптимального приемника.

Определим вид опорного сигнала для ряда функций корреляции помех.

Для белого шума с функцией корреляции вида

где односторонняя спектральная плотность шума из интегрального уравнения (2.2.7) получаем выражение для

Известны также решения уравнения (2.2.7) для нормальных стационарных помех с функциями корреляции вида [1, 20, 27, 32]

Преобразования Фурье от функций корреляций (2.3.4) и (2.3,5),

соответствующие энергетическим спектрам этих помех, определяются выражениями

Опорный сигнал для помехи с функцией корреляции (2.3.4) равен

а для помехи с функцией корреляции (2.3.5)

где Выражения (2.3.6) и (2.3.7) записаны в предположении, что сам сигнал и его необходимые производные по времени обращаются в нуль на концах интервала наблюдения

К сожалению, достаточно простого общего метода решения уравнения (2.2.7) нет. Однако если помехой является стационарный нормальный случайный процесс, т. е.

и время наблюдения больше длительности сигнала и много больше времени корреляции помехи, то можно найти приближенное решение интегрального уравнения (2.2.7) с помощью преобразования Фурье. Действительно, в этом случае левая часть уравнения (2.2.7) приближенно заменяется сверткой функций Так как спектр свертки двух функций равен произведению их спектров, то взяв преобразование Фурье от левой и правой частей уравнения

нетрудно получить

где преобразования Фурье функции корреляции и сигнала соответственно. В частности, если сам сигнал и его производные равны нулю вне интервала наблюдения и на его границах, то для корреляционных функций (2.3.4) и (2.3.5) из получаем формулы (2.3.6) и

Выражение стоящее под знаком интеграла в (2.3.10), представляет собой спектр опорного сигнала корреляционного приемника. Модуль этого спектра

равен амплитудно-частотной характеристике оптимального фильтра для приема сигнала на фоне коррелированной гауссовой помехи с энергетическим спектром

Соотношение для амплитудно-частотной характеристики оптимального фильтра (2.3.11) при приеме сигнала на фоне коррелированной гауссовой помехи можно также получить, используя предложенный В. А. Котельииковьщ формальный метод приведения «небелого» шума к белому [13]. Сущность метода состоит в том, что оптимальный фильтр представляется в виде двух последовательно соединенных линейных фильтров с амплитудно-частотными характеристиками:

Первый фильтр преобразует помеху с неравномерной спектральной плотностью в белый шум. Второй фильтр осуществляет согласно (2.3.3) оптимальное выделение сигнала с амплитудным спектром на фоне белого шума.

Следует, однако, отметить, что непосредственное использование выражения (2.3.11) для вычисления амплитудно-частотной характеристики оптимального фильтра иногда приводит к физически нереализуемым устройствам.

Методика получения амплитудно-частотной характеристики оптимального фильтра в соответствии с выражением (2.3.11) справедлива, когда интеграл от амплитудного спектра полезного сигнала на выходе оптимального приемника

сходится, что соответствует конечному отношению мощности сигнала к мощности помехи на выходе фильтра (несингулярный случай). Если интеграл (2.3.13) расходится, т. е. отношение энергии сигнала к мощности помехи на выходе фильтра бесконечно велико, то соответствующую ситуацию называют сингулярной.

Сингулярности можно избежать, если в качестве помехи рассматривать сумму белого и коррелированного шумов, т. е.

При приеме сигнала на фоне помехи с функцией корреляции (2.3.14) амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра имеет вид

и интеграл (2.3.13) сходится для сигнала с конечной энергией.

Опорный сигнал для функции корреляции (2.3.14) (при выполнении условий, необходимых для замены уравнения (2.2.7) на (2.3.9)) можно представить двумя способами:

где

Если основной вклад в помеху вносится белым шумом, то удобнее пользоваться представлением в виде при коррелированном шуме, значительно превышающем в полосе частот спектра сигнала уровень белого шума, удобнее представить в виде (2.3.17). Таким образом, структурную схему оптимального приемника известного сигнала можно изобразить в двух вариантах, зависящих от способа получения функции I). На рис. 2.3.2 приведена структурная схема для получения выходного сигнала оптимального приемника с использованием опорного сигнала в виде (2.3.16). В данном случае приемник состоит из двух каналов, причем один из каналов полностью согласован для приема сигнала на фоне белого шума. Здесь линейный фильтр, формирующий вторую составляющую опорного сигнала.

Рис. 2.3.2. Структурная схема оптимального приема сигнала на фоне сумм белого и коррелированного шумов.

Определим вид опорного сигнала оптимального приемника для приема на фоне стационарной помехи узкополосного радиосигнала

Здесь и законы амплитудной (огибающая радиосигнала) и фазовой модуляций, которые в общем случае зависят от разных составляющих векторного параметра 1; частота; начальная фаза.

Для узкополосных радиосигналов функции и их производные по времени — медленно изменяющиеся функции времени по сравнению с т. е. справедливы неравенства

Запишем опорный сигнал (2.2.6) для приема рассматриваемого узкополосиого радиосигнала в виде

где решение интегрального уравнения (2.2.4) для полагаемого далее условия большого (по сравнению с временем корреляции помехи) времени наблюдения. Перепишем последнюю формулу:

Здесь

При этом модуль производной от огибающей опорного сигнала после несложных преобразований можно записать в форме

где

Формула (2.3.25) получена в предположении, что огибающая полезного сигнала для всех значений оцениваемых параметров 1 обращается в нуль на концах интервала наблюдения, т. е. Используя неравенство (2.3.21) и выражение (2.3.26), получаем

Из этих неравенств и соотношения (2.3.25) имеем

Аналогично можно показать, что

Таким образом, если полезный сигнал является узкополосным, то и опорный сигнал будет узкополосным.

Применительно к радиосигналам без фазовой модуляции и некоторым типам помех выражение для опорногосигнала (2.3.24) можно упростить. Действительно, пусть полезный сигнал описывается выражением

Рассмотрим более подробно косинусную и синусную составляющие опорного сигнала, которые для (2.3.29) принимают вид.

Для принятого условия относительно большого времени наблюдения пределы интегрирования можно заменить на В этом случае интегральное уравнение (2.2.4) с помощью преобразования Фурье может быть приведено к виду

где преобразования Фурье (спектры) от функций соответственно равны

Подставим В выражения для косинусной и синусной составляющих огибающей опорного сигнала вместо огибающей полезного сигнала ее спектральное представление

а тригонометрические функция запишем в комплексной форме. Проделав несложные вычисления и учтя соотношения (2.3.30)-(2.3,32) можем записать

При приеме узкополосного полезного радиосигнала имеет смысл рассматривать составляющие спектра помехи только в окрестности спектра узкополосного полезного сигнала, где он не равен нулю. Разложим спектр помехи в ряд Тейлора в окрестности первом приближении учтем три члена этого разложения. Тогда

Если центральная частота спектра помехи совпадает с центральной частотой спектра полезного сигнала, то и составляющей 1) можно, естественно, пренебречь по сравнению с составляющей . Применительно к помехам, энергетический спектр которых.

шире спектра полезного сигнала, при любых расстройках центральных частот в полосе частот спектра огибающей полезного сигнала выполняется неравенство и поэтому также можно пренебречь по сравнению с Аналогичный результат получим для произвольных соотношений между шириной спектра помехи и шириной спектра сигнала при условии, что расстройка центральных частот спектров сигнала и помехи много больше ширины спектра полезного сигнала.

Пренебрежение составляющей I) по сравнению с составляющей достаточно строго можно показать применительно к двум случаям: интенсивность помехи постоянна в пределах ширины спектра полезного сигнала; помеха узкополосная и центральная частота ее спектра совпадает с центральной частотой спектра полезного сигнала. В первом случае, естественно, получаем Во втором случае узкополосную помеху можно представить в виде

Отсюда получаем

Так как при которых получаем и поэтому

В рассмотренных случаях опорный сигнал оптимального приемника запишется в виде

где огибающая опорного сигнала определяется из формулы

В дальнейшем будем полагать, что отмеченные выше условия относительно времени наблюдения и соотношения между спектрами помехи и сигнала выполняются,

В заключение необходимо отметить, что представление опорного сигнала оптимального приемника в виде (2.3.35) неправомерно для случаев, когда ширина спектра узкополосной помехи и величина расстройки центральной частоты спектра помехи относительно центральной частоты спектра сигнала соизмеримы с шириной спектра полезного сигнала. В этом случае, как следует из формулы (2.3.24), опорный сигнал будет содержать дополнительную фазовую модуляцию, зависящую от соотношения параметров спектра полезного сигнала и спектральной ллотиости узкополосной помехи.